Cálculo Exemplos

$f (x) = - x^{3} - 3 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 x^{2} - 3 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 3$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} - 3$ .

$- 3 x^{2} - 3$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} - 3 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$- 3 x^{2} = 3$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = 3$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{- 3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $3$ por $- 3$ .

$x^{2} = - 1$

Etapa 2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 2.5

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Nenhum ponto torna a derivada $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ igual a $0$ ou indefinida. O intervalo para verificar se $f (x) = - x^{3} - 3 x$ está aumentando ou diminuindo é $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número, como $1$ , no intervalo $(- \infty, \infty)$ na derivada $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo. Se o resultado for negativo, o gráfico está diminuindo no intervalo $(- \infty, \infty)$ . Se o resultado for positivo, o gráfico está aumentando no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} - 3$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 - 3$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (1) = - 3 - 3$

Etapa 5.2.2

Subtraia $3$ de $- 3$ .

$f' (1) = - 6$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Etapa 6

O resultado da substituição de $1$ em $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ é $- 6$ , que é negativo, então o gráfico diminui no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Decréscimo em $(- \infty, \infty)$

Etapa 7

Decréscimo sobre o intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que a função é sempre decrescente.

Sempre decrescente

Etapa 8