Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + 16 x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 16 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{3}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 16 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 48 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} + 48 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 48 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{3} + 48 x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) + 48 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $4 x^{2}$ de $48 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (12) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (12)$ .

$4 x^{2} (x + 12) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 12 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x + 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 12$ como igual a $0$ .

$x + 12 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$x = - 12$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x^{2} (x + 12) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 12$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - 12$ .

$0, - 12$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 12)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 13$ na expressão.

$f' (- 13) = 4 {(- 13)}^{3} + 48 {(- 13)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 13$ à potência de $3$ .

$f' (- 13) = 4 \cdot - 2197 + 48 {(- 13)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 2197$ .

$f' (- 13) = - 8788 + 48 {(- 13)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 13$ à potência de $2$ .

$f' (- 13) = - 8788 + 48 \cdot 169$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $48$ por $169$ .

$f' (- 13) = - 8788 + 8112$

Etapa 5.2.2

Some $- 8788$ e $8112$ .

$f' (- 13) = - 676$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 676$ .

$- 676$

Etapa 5.3

Em $x = - 13$ , a derivada é $- 676$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 12)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 12)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 12, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} + 48 {(- 6)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f' (- 6) = 4 \cdot - 216 + 48 {(- 6)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 216$ .

$f' (- 6) = - 864 + 48 {(- 6)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f' (- 6) = - 864 + 48 \cdot 36$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $48$ por $36$ .

$f' (- 6) = - 864 + 1728$

Etapa 6.2.2

Some $- 864$ e $1728$ .

$f' (- 6) = 864$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $864$ .

$864$

Etapa 6.3

Em $x = - 6$ , a derivada é $864$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 12, 0)$ .

Acréscimo em $(- 12, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 4 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (1) = 4 + 48 {(1)}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 4 + 48 \cdot 1$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $48$ por $1$ .

$f' (1) = 4 + 48$

Etapa 7.2.2

Some $4$ e $48$ .

$f' (1) = 52$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $52$ .

$52$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $52$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 12, 0), (0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 12)$

Etapa 9