Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + 5 x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 5 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} + 5 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 15 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} + 15 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 15 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} + 15 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} + 15 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x^{2}$ de $4 x^{3} + 15 x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$x^{2} (4 x) + 15 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $x^{2}$ de $15 x^{2}$ .

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 15 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 15$ .

$x^{2} (4 x + 15) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$4 x + 15 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $4 x + 15$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $4 x + 15$ como igual a $0$ .

$4 x + 15 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $4 x + 15 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $15$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 15$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $4 x = - 15$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 15$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 15}{4}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 15}{4}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 15}{4}$

Etapa 2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{15}{4}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (4 x + 15) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{15}{4}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - \frac{15}{4}$ .

$0, - \frac{15}{4}$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{15}{4}) \cup (- \frac{15}{4}, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{15}{4})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4.75$ na expressão.

$f' (- 4.75) = 4 {(- 4.75)}^{3} + 15 {(- 4.75)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 4.75$ à potência de $3$ .

$f' (- 4.75) = 4 \cdot - 107.171875 + 15 {(- 4.75)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 107.171875$ .

$f' (- 4.75) = - 428.6875 + 15 {(- 4.75)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 4.75$ à potência de $2$ .

$f' (- 4.75) = - 428.6875 + 15 \cdot 22.5625$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $15$ por $22.5625$ .

$f' (- 4.75) = - 428.6875 + 338.4375$

Etapa 5.2.2

Some $- 428.6875$ e $338.4375$ .

$f' (- 4.75) = - 90.25$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 90.25$ .

$- 90.25$

Etapa 5.3

Em $x = - 4.75$ , a derivada é $- 90.25$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - \frac{15}{4})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{15}{4})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 3.75, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.875$ na expressão.

$f' (- 1.875) = 4 {(- 1.875)}^{3} + 15 {(- 1.875)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1.875$ à potência de $3$ .

$f' (- 1.875) = 4 \cdot - 6.59179687 + 15 {(- 1.875)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 6.59179687$ .

$f' (- 1.875) = - 26.3671875 + 15 {(- 1.875)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 1.875$ à potência de $2$ .

$f' (- 1.875) = - 26.3671875 + 15 \cdot 3.515625$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $15$ por $3.515625$ .

$f' (- 1.875) = - 26.3671875 + 52.734375$

Etapa 6.2.2

Some $- 26.3671875$ e $52.734375$ .

$f' (- 1.875) = 26.3671875$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $26.3671875$ .

$26.3671875$

Etapa 6.3

Em $x = - 1.875$ , a derivada é $26.3671875$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 3.75, 0)$ .

Acréscimo em $(- \frac{15}{4}, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} + 15 {(1)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 4 \cdot 1 + 15 {(1)}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (1) = 4 + 15 {(1)}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 4 + 15 \cdot 1$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $15$ por $1$ .

$f' (1) = 4 + 15$

Etapa 7.2.2

Some $4$ e $15$ .

$f' (1) = 19$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $19$ .

$19$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $19$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \frac{15}{4}, 0), (0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - \frac{15}{4})$

Etapa 9