Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x - 4}{x - 8}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 4$ e $g (x) = x - 8$ .

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 8) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $x - 8$ por $1$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 8 - (x - 4)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 8 - x - - 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.2.1

Combine os termos opostos em $x - 8 - x - - 4$ .

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Etapa 1.1.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 8 - - 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Subtraia $8$ de $0$ .

$\frac{- 8 - - 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 8 + 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.3

Some $- 8$ e $4$ .

$\frac{- 4}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$ .

$- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 = 0$

Etapa 2.3

Como $4 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 8)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 4.2.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{x - 4}{x - 8}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 8) \cup (8, \infty)$ .

$(- \infty, 8) \cup (8, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 8)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = - \frac{4}{{((7) - 8)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1

Subtraia $8$ de $7$ .

$f' (7) = - \frac{4}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (7) = - \frac{4}{1}$

Etapa 6.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.1

Divida $4$ por $1$ .

$f' (7) = - 1 \cdot 4$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (7) = - 4$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 6.3

Em $x = 7$ , a derivada é $- 4$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 8)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 8)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(8, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$f' (9) = - \frac{4}{{((9) - 8)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.1

Subtraia $8$ de $9$ .

$f' (9) = - \frac{4}{1^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (9) = - \frac{4}{1}$

Etapa 7.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.2.2.1

Divida $4$ por $1$ .

$f' (9) = - 1 \cdot 4$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (9) = - 4$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 7.3

Em $x = 9$ , a derivada é $- 4$ . Por ser negativa, a função diminui em $(8, \infty)$ .

Decréscimo em $(8, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, 8), (8, \infty)$

Etapa 9