Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $x^{2} + 3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1.3.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e cuja soma é $b = 2$ .

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Etapa 1.1.3.5.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Reescreva $2$ como $- 1$ mais $3$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.3.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 1) - 3 (- x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.9

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(x + 1) (x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.3.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 3$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Some $- 2$ e $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 (- 2 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{(4 + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $4$ e $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{7^{2}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{49}$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f' (- 2) = - \frac{5}{49}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- \frac{5}{49}$ .

$- \frac{5}{49}$

Etapa 5.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $- \frac{5}{49}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - \frac{((1) + 1) ((1) - 3)}{{({(1)}^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Some $1$ e $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 3)}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1 + 3)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $1$ e $3$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{4^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{16}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (1) = - \frac{- 4}{16}$

Etapa 6.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$f' (1) = - \frac{4 (- 1)}{16}$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (1) = - \frac{- 1}{4}$

Etapa 6.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (1) = \frac{1}{4}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 6.3

Em $x = 1$ , a derivada é $\frac{1}{4}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 1, 3)$ .

Acréscimo em $(- 1, 3)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = - \frac{((4) + 1) ((4) - 3)}{{({(4)}^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Some $4$ e $1$ .

$f' (4) = - \frac{5 (4 - 3)}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(16 + 3)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $16$ e $3$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{19^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $19$ à potência de $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{361}$

Etapa 7.2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$f' (4) = - \frac{5}{361}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- \frac{5}{361}$ .

$- \frac{5}{361}$

Etapa 7.3

Em $x = 4$ , a derivada é $- \frac{5}{361}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(3, \infty)$ .

Decréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 1, 3)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Etapa 9