Cálculo Exemplos

$y = \frac{4 x - 8}{2 x + 3}$ , $x = 2$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 x - 8$ e $g (x) = 2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x - 8] - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(2 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 + 0) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 3) \cdot 4 - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $2 x + 3$ .

$\frac{4 \cdot (2 x + 3) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 + 0)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.12.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) \cdot 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.12.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - 2 (4 x - 8)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x - 8)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Combine os termos opostos em $4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 8$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $4 (2 x)$ e $- 2 (4 x)$ .

$\frac{2 \cdot 4 x + 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4 x - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Subtraia $2 \cdot 4 x$ de $2 \cdot 4 x$ .

$\frac{4 \cdot 3 + 0 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Some $4 \cdot 3$ e $0$ .

$\frac{4 \cdot 3 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 8$ .

$\frac{12 + 16}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Some $12$ e $16$ .

$\frac{28}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$\frac{28}{{(2 (2) + 3)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{28}{{(4 + 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Some $4$ e $3$ .

$\frac{28}{7^{2}}$

Etapa 5.1.3

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\frac{28}{49}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $28$ e $49$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $7$ de $28$ .

$\frac{7 (4)}{49}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $7$ de $49$ .

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{7}$