Cálculo Exemplos

$y = {(2 x + 1)}^{x}$ , $x = 1$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(2 x + 1)}^{x}$ como $e^{\ln ({(2 x + 1)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(2 x + 1)}^{x})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(2 x + 1)}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (2 x + 1)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (2 x + 1)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x \ln (2 x + 1)$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x + 1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x + 1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2 x + 1}$ e $x$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.7

Combine frações.

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Etapa 5.7.1

Some $2$ e $0$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.7.2

Combine $\frac{x}{2 x + 1}$ e $2$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.7.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1)$

Etapa 5.9

Multiplique $\ln (2 x + 1)$ por $1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1))$

Etapa 6

Para escrever $\ln (2 x + 1)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1})$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{x \ln (2 x + 1)} \frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 8

Combine $e^{x \ln (2 x + 1)}$ e $\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$ .

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1)}{2 x + 1}$

Etapa 9.1.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1)}{2 x + 1}$

Etapa 9.1.1.3

Multiplique $\ln (2 x + 1)$ por $1$ .

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Etapa 9.1.1.4

Simplifique $2 \ln (2 x + 1)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Etapa 9.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x) + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 9.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 9.1.4

Reordene os fatores em $2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x e^{x \ln (2 x + 1)} + x e^{x \ln (2 x + 1)} \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 9.2

Reordene os termos.

$\frac{2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 10

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$\frac{2 e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} (1) + e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} (1) \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.1

Simplifique $1 \ln (2 (1) + 1)$ movendo $1$ para dentro do logaritmo.

$\frac{2 e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{2 {(2 (1) + 1)}^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 {(2 + 1)}^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot 3^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \cdot 3 \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.6

Multiplique $2 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Etapa 11.1.6.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.6.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{6 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.7

Simplifique $1 \ln (2 (1) + 1)$ movendo $1$ para dentro do logaritmo.

$\frac{6 + e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.8

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{6 + {(2 (1) + 1)}^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{6 + {(2 + 1)}^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.10

Some $2$ e $1$ .

$\frac{6 + 3^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.11

Avalie o expoente.

$\frac{6 + 3 \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.12

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{6 + 3 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.13

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{6 + 3 \ln ({(2 + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.14

Some $2$ e $1$ .

$\frac{6 + 3 \ln (3^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.15

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{6 + 3 \ln (9) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.16

Simplifique $3 \ln (9)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{6 + \ln (9^{3}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.17

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$\frac{6 + \ln (729) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.18

Simplifique $1 \ln (2 (1) + 1)$ movendo $1$ para dentro do logaritmo.

$\frac{6 + \ln (729) + e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.19

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{6 + \ln (729) + {(2 (1) + 1)}^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.20

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{6 + \ln (729) + {(2 + 1)}^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.21

Some $2$ e $1$ .

$\frac{6 + \ln (729) + 3^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.22

Avalie o expoente.

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.23

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (2 + 1)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.24

Some $2$ e $1$ .

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (3)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.25

Simplifique $3 \ln (3)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{6 + \ln (729) + \ln (3^{3})}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.26

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{6 + \ln (729) + \ln (27)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.27

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{6 + \ln (729 \cdot 27)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.1.28

Multiplique $729$ por $27$ .

$\frac{6 + \ln (19683)}{2 (1) + 1}$

Etapa 11.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{6 + \ln (19683)}{2 + 1}$

Etapa 11.2.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{6 + \ln (19683)}{3}$