Cálculo Exemplos

$V = \cos (102 t) \sin (201 t)$ , $t = 4$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = \cos (102 t)$ e $g (t) = \sin (201 t)$ .

$\cos (102 t) \frac{d}{d t} [\sin (201 t)] + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 201 t$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $201 t$ .

$\cos (102 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (102 t) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $201 t$ .

$\cos (102 t) (\cos (201 t) \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $201$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $201 t$ em relação a $t$ é $201 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\cos (102 t) \cos (201 t) (201 \frac{d}{d t} [t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (102 t) \cos (201 t) (201 \cdot 1) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Etapa 3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $201$ por $1$ .

$\cos (102 t) \cos (201 t) \cdot 201 + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Etapa 3.3.2

Mova $201$ para a esquerda de $\cos (102 t) \cos (201 t)$ .

$201 \cdot (\cos (102 t) \cos (201 t)) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 102 t$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $102 t$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [102 t])$

Etapa 4.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [102 t])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $102 t$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (102 t) \frac{d}{d t} [102 t])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $102$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $102 t$ em relação a $t$ é $102 \frac{d}{d t} [t]$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (102 t) (102 \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 5.2

Multiplique $102$ por $- 1$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t) \cdot 1)$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $- 102$ por $1$ .

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t))$

Etapa 5.4.2

Reordene os termos.

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) - 102 \sin (102 t) \sin (201 t)$

Etapa 6

Avalie a derivada em $t = 4$ .

$201 \cos (102 (4)) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $102$ por $4$ .

$201 \cos (408) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Etapa 7.1.2

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$201 \cos (48) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Etapa 7.1.3

Avalie $\cos (48)$ .

$201 \cdot 0.6691306 \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Etapa 7.1.4

Multiplique $201$ por $0.6691306$ .

$134.49525187 \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Etapa 7.1.5

Multiplique $201$ por $4$ .

$134.49525187 \cos (804) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Etapa 7.1.6

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$134.49525187 \cos (84) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Etapa 7.1.7

Avalie $\cos (84)$ .

$134.49525187 \cdot 0.10452846 - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Etapa 7.1.8

Multiplique $134.49525187$ por $0.10452846$ .

$14.05858199 - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

Etapa 7.1.9

Multiplique $102$ por $4$ .

$14.05858199 - 102 \sin (408) \sin (201 (4))$

Etapa 7.1.10

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$14.05858199 - 102 \sin (48) \sin (201 (4))$

Etapa 7.1.11

Avalie $\sin (48)$ .

$14.05858199 - 102 \cdot 0.74314482 \sin (201 (4))$

Etapa 7.1.12

Multiplique $- 102$ por $0.74314482$ .

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (201 (4))$

Etapa 7.1.13

Multiplique $201$ por $4$ .

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (804)$

Etapa 7.1.14

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (84)$

Etapa 7.1.15

Avalie $\sin (84)$ .

$14.05858199 - 75.80077219 \cdot 0.99452189$

Etapa 7.1.16

Multiplique $- 75.80077219$ por $0.99452189$ .

$14.05858199 - 75.38552763$

Etapa 7.2

Subtraia $75.38552763$ de $14.05858199$ .

$- 61.32694564$