Cálculo Exemplos

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$ , $x = \frac{π}{3}$

Etapa 1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \sin (x) \cos (x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Etapa 9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Etapa 10

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Etapa 11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Etapa 12

Some $1$ e $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

Etapa 13.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

Etapa 14

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{3}$ .

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 15.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 15.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 15.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 15.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 15.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 15.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 15.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$- 8 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 15.1.3.5

Avalie o expoente.

$- 8 \frac{3}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 15.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 8 (\frac{3}{4}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 15.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 15.1.5.1

Fatore $4$ de $- 8$ .

$4 (- 2) \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 15.1.5.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot - 2 \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 15.1.5.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \cdot 3 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 15.1.6

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- 6 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 15.1.7

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 15.1.8

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Etapa 15.1.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 6 + 8 \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 15.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 6 + 8 (\frac{1}{4})$

Etapa 15.1.11

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.11.1

Fatore $4$ de $8$ .

$- 6 + 4 (2) \frac{1}{4}$

Etapa 15.1.11.2

Cancele o fator comum.

$- 6 + 4 \cdot 2 \frac{1}{4}$

Etapa 15.1.11.3

Reescreva a expressão.

$- 6 + 2$

Etapa 15.2

Some $- 6$ e $2$ .

$- 4$