Cálculo Exemplos

$3$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{3}{16}$ , $\frac{3}{64}$

Etapa 1

Esta é uma progressão geométrica, pois existe uma razão comum entre cada termo. Nesse caso, multiplicar o termo anterior na progressão por $\frac{1}{4}$ resulta no próximo termo. Em outras palavras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressão geométrica: $r = \frac{1}{4}$

Etapa 2

Esta é a forma de uma progressão geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Etapa 3

Substitua os valores de $a_{1} = 3$ e $r = \frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Etapa 4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 3 \frac{1^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Etapa 5

Um elevado a qualquer potência é um.

$a_{n} = 3 \frac{1}{4^{n - 1}}$

Etapa 6

Combine $3$ e $\frac{1}{4^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{3}{4^{n - 1}}$

Etapa 7

Esta é a fórmula para encontrar a soma dos $n$ primeiros termos da progressão geométrica. Para avaliá-la, encontre os valores de $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Etapa 8

Substitua as variáveis pelos valores conhecidos para encontrar $S_{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1^{4}}{4^{4}} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Etapa 9.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{4^{4}} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Etapa 9.3

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Etapa 9.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{256}{256}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} - 1 \cdot \frac{256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Etapa 9.5

Combine $- 1$ e $\frac{256}{256}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} + \frac{- 1 \cdot 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Etapa 9.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Etapa 9.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.1

Multiplique $- 1$ por $256$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1 - 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Etapa 9.7.2

Subtraia $256$ de $1$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{- 255}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Etapa 9.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Etapa 10

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 10.2

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Etapa 10.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

Etapa 10.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1 - 4}{4}}$

Etapa 10.4.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{- 3}{4}}$

Etapa 10.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{- \frac{3}{4}}$

Etapa 11

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{255}{256}}{\frac{3}{4}}$

Etapa 12

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{255}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Fatore $3$ de $255$ .

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{3 (85)}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{3 \cdot 85}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{256} \cdot 4)$

Etapa 14

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Fatore $4$ de $256$ .

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{4 (64)} \cdot 4)$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{4 \cdot 64} \cdot 4)$

Etapa 14.3

Reescreva a expressão.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{85}{64}$

Etapa 15

Multiplique $3 (\frac{85}{64})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Combine $3$ e $\frac{85}{64}$ .

$S_{4} = \frac{3 \cdot 85}{64}$

Etapa 15.2

Multiplique $3$ por $85$ .

$S_{4} = \frac{255}{64}$