Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ , $[- 8, 8]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 1.1.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 1.1.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 1.1.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} - 4 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} - 4$ .

$x^{2} - 4$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} - 4 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 4$

Etapa 1.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 1.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 1.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 1.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 1.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - 4 \cdot 2$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - 4 \cdot 2$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{8}{3} - 4 \cdot 2$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{8}{3} - 8$

Etapa 1.4.1.2.2

Para escrever $- 8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 1.4.1.2.3

Combine $- 8$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Etapa 1.4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 - 8 \cdot 3}{3}$

Etapa 1.4.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.5.1

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$\frac{8 - 24}{3}$

Etapa 1.4.1.2.5.2

Subtraia $24$ de $8$ .

$\frac{- 16}{3}$

Etapa 1.4.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{3}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 8 - 4 \cdot - 2$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 8$ .

$\frac{- 8}{3} - 4 \cdot - 2$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{3} - 4 \cdot - 2$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$- \frac{8}{3} + 8$

Etapa 1.4.2.2.2

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 1.4.2.2.3

Combine $8$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Etapa 1.4.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 8 + 8 \cdot 3}{3}$

Etapa 1.4.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.5.1

Multiplique $8$ por $3$ .

$\frac{- 8 + 24}{3}$

Etapa 1.4.2.2.5.2

Some $- 8$ e $24$ .

$\frac{16}{3}$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(2, - \frac{16}{3}), (- 2, \frac{16}{3})$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $x = - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 8$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 8)}^{3} - 4 \cdot - 8$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 512 - 4 \cdot - 8$

Etapa 2.1.2.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 512$ .

$\frac{- 512}{3} - 4 \cdot - 8$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{512}{3} - 4 \cdot - 8$

Etapa 2.1.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$- \frac{512}{3} + 32$

Etapa 2.1.2.2

Para escrever $32$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.1.2.3

Combine $32$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 512 + 32 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Multiplique $32$ por $3$ .

$\frac{- 512 + 96}{3}$

Etapa 2.1.2.5.2

Some $- 512$ e $96$ .

$\frac{- 416}{3}$

Etapa 2.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{416}{3}$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $8$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(8)}^{3} - 4 \cdot 8$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 512 - 4 \cdot 8$

Etapa 2.2.2.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $512$ .

$\frac{512}{3} - 4 \cdot 8$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$\frac{512}{3} - 32$

Etapa 2.2.2.2

Para escrever $- 32$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512}{3} - 32 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.2.2.3

Combine $- 32$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{512 - 32 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.1

Multiplique $- 32$ por $3$ .

$\frac{512 - 96}{3}$

Etapa 2.2.2.5.2

Subtraia $96$ de $512$ .

$\frac{416}{3}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 8, - \frac{416}{3}), (8, \frac{416}{3})$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(8, \frac{416}{3})$

Mínimo absoluto: $(- 8, - \frac{416}{3})$

Etapa 4