Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (2 x) + 3$ , $[- π, π]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (2 x) + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \cos (2 x) + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $2 \cos (2 x)$ e $0$ .

$f' (x) = 2 \cos (2 x)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 \cos (2 x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 \cos (2 x) = 0$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $2 \cos (2 x) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (2 x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Etapa 1.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (0)$

Etapa 1.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.5

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.5.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.7

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.7.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.7.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.2.7.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 1.2.7.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.2.7.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.7.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.7.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.7.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.7.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 1.2.8

Encontre o período de $\cos (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.8.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 1.2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 1.2.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 1.2.8.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.2.9

O período da função $\cos (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.10

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\sin (2 x) + 3$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\sin (2 (\frac{π}{4})) + 3$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\sin (2 \frac{π}{2 (2)}) + 3$

Etapa 1.4.1.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2}) + 3$

Etapa 1.4.1.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\sin (\frac{π}{2}) + 3$

Etapa 1.4.1.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$1 + 3$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $1$ e $3$ .

$4$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \frac{3 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{3 π}{4}$ por $x$ .

$\sin (2 (\frac{3 π}{4})) + 3$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\sin (2 \frac{3 π}{2 (2)}) + 3$

Etapa 1.4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2}) + 3$

Etapa 1.4.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\sin (\frac{3 π}{2}) + 3$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{2}) + 3$

Etapa 1.4.2.2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1 + 3$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 3$

Etapa 1.4.2.2.2

Some $- 1$ e $3$ .

$2$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{4} + π n, 4), (\frac{3 π}{4} + π n, 2)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(- \frac{3 π}{4}, 4), (\frac{π}{4}, 4), (- \frac{π}{4}, 2), (\frac{3 π}{4}, 2)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $x = - π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $- π$ por $x$ .

$\sin (2 (- π)) + 3$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\sin (- 2 π) + 3$

Etapa 3.1.2.1.2

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\sin (0) + 3$

Etapa 3.1.2.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0 + 3$

Etapa 3.1.2.2

Some $0$ e $3$ .

$3$

Etapa 3.2

Avalie em $x = π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $π$ por $x$ .

$\sin (2 (π)) + 3$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\sin (0) + 3$

Etapa 3.2.2.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0 + 3$

Etapa 3.2.2.2

Some $0$ e $3$ .

$3$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(- π, 3), (π, 3)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- \frac{3 π}{4}, 4), (\frac{π}{4}, 4)$

Mínimo absoluto: $(- \frac{π}{4}, 2), (\frac{3 π}{4}, 2)$

Etapa 5