Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{\frac{2}{3}}$ , $[- 1, 1]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 1.1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 1.1.1.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 1.1.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.1.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$4 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.1.9

Combine $4$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Etapa 1.1.1.10

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.10.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.1.10.2

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $8 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Etapa 1.3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{x}}$

Etapa 1.3.2

Defina o denominador em $\frac{8}{3 \sqrt[3]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Etapa 1.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Simplifique ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.4

Simplifique.

$27 x = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x = 0$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1

Divida $0$ por $27$ .

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $4 x^{\frac{2}{3}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$4 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$4 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 1.4.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$4 \cdot 0^{2}$

Etapa 1.4.1.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 \cdot 0$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(0, 0)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$4 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 2.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(- 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 2.1.2.3.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$4 {(1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \cdot 1$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 1, 4), (1, 4)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 1, 4), (1, 4)$

Mínimo absoluto: $(0, 0)$

Etapa 4