Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 \sqrt{x} + 5$ , $[4, 7]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \sqrt{x} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.10

Combine $4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.12

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.1.2.13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 1.3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Etapa 1.3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{2}{\sqrt{x}}$

Etapa 1.3.2

Defina o denominador em $\frac{2}{\sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x} = 0$

Etapa 1.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 1.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.3.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.3.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.3.4

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 1.3.5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 1.4

Avalie $4 \sqrt{x} + 5$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$4 \sqrt{0} + 5$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Remova os parênteses.

$4 \sqrt{0} + 5$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} + 5$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4 \cdot 0 + 5$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 + 5$

Etapa 1.4.1.2.3

Some $0$ e $5$ .

$5$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(0, 5)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $4$ por $x$ .

$4 \sqrt{4} + 5$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Remova os parênteses.

$4 \sqrt{4} + 5$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2^{2}} + 5$

Etapa 3.1.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4 \cdot 2 + 5$

Etapa 3.1.2.2.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 + 5$

Etapa 3.1.2.3

Some $8$ e $5$ .

$13$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $7$ por $x$ .

$4 \sqrt{7} + 5$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$4 \sqrt{7} + 5$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(4, 13), (7, 4 \sqrt{7} + 5)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(7, 4 \sqrt{7} + 5)$

Mínimo absoluto: $(4, 13)$

Etapa 5