Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 1$ , $[- 2, 3]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.1.5.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12 + 0$

Etapa 1.1.1.5.2

Some $6 x^{2} - 6 x - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} - 6 x - 12$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} - 6 x - 12 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} - 6 x - 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 6 x - 12 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $6$ de $- 6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- x) - 12 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $6$ de $- 12$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- x) + 6 (- 2) = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $6$ de $6 (x^{2}) + 6 (- x)$ .

$6 (x^{2} - x) + 6 (- 2) = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} - x) + 6 (- 2)$ .

$6 (x^{2} - x - 2) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - x - 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 2) (x + 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 2) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$2 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 1$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 1$

Etapa 1.4.1.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{1 + 3} - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 1$

Etapa 1.4.1.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$2^{4} - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 1$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 1$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 - 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 1$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$16 - 12 - 12 \cdot 2 + 1$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Multiplique $- 12$ por $2$ .

$16 - 12 - 24 + 1$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Subtraia $12$ de $16$ .

$4 - 24 + 1$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Subtraia $24$ de $4$ .

$- 20 + 1$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Some $- 20$ e $1$ .

$- 19$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$2 {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1 + 1$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 1 - 3 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1 + 1$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 - 3 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1 + 1$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 2 - 3 \cdot 1 - 12 \cdot - 1 + 1$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 2 - 3 - 12 \cdot - 1 + 1$

Etapa 1.4.2.2.1.5

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$- 2 - 3 + 12 + 1$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$- 5 + 12 + 1$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Some $- 5$ e $12$ .

$7 + 1$

Etapa 1.4.2.2.2.3

Some $7$ e $1$ .

$8$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(2, - 19), (- 1, 8)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$2 {(- 2)}^{3} - 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 8 - 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$- 16 - 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Etapa 2.1.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 16 - 3 \cdot 4 - 12 \cdot - 2 + 1$

Etapa 2.1.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$- 16 - 12 - 12 \cdot - 2 + 1$

Etapa 2.1.2.1.5

Multiplique $- 12$ por $- 2$ .

$- 16 - 12 + 24 + 1$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Subtraia $12$ de $- 16$ .

$- 28 + 24 + 1$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $- 28$ e $24$ .

$- 4 + 1$

Etapa 2.1.2.2.3

Some $- 4$ e $1$ .

$- 3$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

$2 {(3)}^{3} - 3 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 1$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 27 - 3 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 1$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $27$ .

$54 - 3 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 1$

Etapa 2.2.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$54 - 3 \cdot 9 - 12 \cdot 3 + 1$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$54 - 27 - 12 \cdot 3 + 1$

Etapa 2.2.2.1.5

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$54 - 27 - 36 + 1$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Subtraia $27$ de $54$ .

$27 - 36 + 1$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia $36$ de $27$ .

$- 9 + 1$

Etapa 2.2.2.2.3

Some $- 9$ e $1$ .

$- 8$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, - 3), (3, - 8)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 1, 8)$

Mínimo absoluto: $(2, - 19)$

Etapa 4