Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} - 4$ , $(- 1, 2)$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.1.4

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x = 0$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{2} - 4$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 4$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(0, - 4)$

Etapa 2

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

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Etapa 2.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 2.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $2 x$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 2 (- 2)$

Etapa 2.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4$

Etapa 2.2.2.2

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 2.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $2 x$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 2 (2)$

Etapa 2.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (2) = 4$

Etapa 2.3.2.2

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 2.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Nenhum máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(0, - 4)$

Etapa 4