Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 1}$ , $[0, 3]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Multiplique $x^{2} - x + 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.9

Some $2 x - 1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.4

Multiplique $- x \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Combine os termos opostos em $x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x$ .

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Etapa 1.1.1.3.2.2.1

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2.2

Some $x^{2} + 1 - 2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.3

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.3.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.2

Reordene $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Etapa 1.2.3.2

Defina $1 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.3.2.1

Defina $1 + x$ como igual a $0$ .

$1 + x = 0$

Etapa 1.2.3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.3.3

Defina $1 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.3.3.1

Defina $1 - x$ como igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 1.2.3.3.2

Resolva $1 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.3.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 1.2.3.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.3.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.3.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 1.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(1 + x) (1 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} - (- 1) + 1}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{- 1}{1 - (- 1) + 1}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1}{1 + 1 + 1}$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 1}{2 + 1}$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Etapa 1.4.1.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{3}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} - (1) + 1}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{1 - (1) + 1}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{1 - 1 + 1}$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 1.4.2.2.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(- 1, - \frac{1}{3}), (1, 1)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(1, 1)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 - (0) + 1}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

Etapa 3.1.2.1.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Etapa 3.1.2.1.4

Some $0$ e $1$ .

$\frac{0}{1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $0$ por $1$ .

$0$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 3$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

$\frac{3}{{(3)}^{2} - (3) + 1}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{3}{9 - (3) + 1}$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3}{9 - 3 + 1}$

Etapa 3.2.2.3

Subtraia $3$ de $9$ .

$\frac{3}{6 + 1}$

Etapa 3.2.2.4

Some $6$ e $1$ .

$\frac{3}{7}$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (3, \frac{3}{7})$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, 1)$

Mínimo absoluto: $(0, 0)$

Etapa 5