Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + x - 4$ , $[0, 8]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Etapa 1.1.1.5

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x + 1$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x + 1$ .

$2 x + 1$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x + 1 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{2} + x - 4$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $- \frac{1}{2}$ por $x$ .

${(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Remova os parênteses.

${(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 1.4.1.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.2.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.3

Encontre o denominador comum.

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Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.3.3

Escreva $- 4$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

Etapa 1.4.1.2.3.4

Multiplique $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 1.4.1.2.3.5

Multiplique $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Etapa 1.4.1.2.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Etapa 1.4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 2 - 4 \cdot 4}{4}$

Etapa 1.4.1.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.1.2.5.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\frac{1 - 2 - 16}{4}$

Etapa 1.4.1.2.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 - 16}{4}$

Etapa 1.4.1.2.5.3

Subtraia $16$ de $- 1$ .

$\frac{- 17}{4}$

Etapa 1.4.1.2.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{17}{4}$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(- \frac{1}{2}, - \frac{17}{4})$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} + 0 - 4$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Remova os parênteses.

${(0)}^{2} + 0 - 4$

Etapa 3.1.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 - 4$

Etapa 3.1.2.3

Some $0$ e $0$ .

$0 - 4$

Etapa 3.1.2.4

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 8$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $8$ por $x$ .

${(8)}^{2} + 8 - 4$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

${(8)}^{2} + 8 - 4$

Etapa 3.2.2.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$64 + 8 - 4$

Etapa 3.2.2.3

Some $64$ e $8$ .

$72 - 4$

Etapa 3.2.2.4

Subtraia $4$ de $72$ .

$68$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(0, - 4), (8, 68)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(8, 68)$

Mínimo absoluto: $(0, - 4)$

Etapa 5