Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ , $(- 3, 6)$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.1.5.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 + 0$

Etapa 1.1.1.5.2

Some $6 x^{2} + 6 x - 36$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 36$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} + 6 x - 36$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} + 6 x - 36 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 x - 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 36 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $6$ de $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 36 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $6$ de $- 36$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 6 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $6$ de $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 6 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 6$ .

$6 (x^{2} + x - 6) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

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Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 2) (x + 3) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 2) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 3$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$2 {(2)}^{3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Etapa 1.4.1.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{1 + 3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Etapa 1.4.1.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$2^{4} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 + 3 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 7$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$16 + 12 - 36 \cdot 2 + 7$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Multiplique $- 36$ por $2$ .

$16 + 12 - 72 + 7$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.4.1.2.2.1

Some $16$ e $12$ .

$28 - 72 + 7$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Subtraia $72$ de $28$ .

$- 44 + 7$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Some $- 44$ e $7$ .

$- 37$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$2 {(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 27$ .

$- 54 + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 54 + 3 \cdot 9 - 36 \cdot - 3 + 7$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $3$ por $9$ .

$- 54 + 27 - 36 \cdot - 3 + 7$

Etapa 1.4.2.2.1.5

Multiplique $- 36$ por $- 3$ .

$- 54 + 27 + 108 + 7$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 1.4.2.2.2.1

Some $- 54$ e $27$ .

$- 27 + 108 + 7$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Some $- 27$ e $108$ .

$81 + 7$

Etapa 1.4.2.2.2.3

Some $81$ e $7$ .

$88$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(2, - 37), (- 3, 88)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(2, - 37)$

Etapa 3

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

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Etapa 3.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 3.2

Substitua qualquer número, como $- 6$ , do intervalo $(- \infty, - 3)$ na primeira derivada $6 x^{2} + 6 x - 36$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f' (- 6) = 6 {(- 6)}^{2} + 6 (- 6) - 36$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f' (- 6) = 6 \cdot 36 + 6 (- 6) - 36$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $6$ por $36$ .

$f' (- 6) = 216 + 6 (- 6) - 36$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = 216 - 36 - 36$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Subtraia $36$ de $216$ .

$f' (- 6) = 180 - 36$

Etapa 3.2.2.2.2

Subtraia $36$ de $180$ .

$f' (- 6) = 144$

Etapa 3.2.2.3

A resposta final é $144$ .

$144$

Etapa 3.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- 3, 2)$ na primeira derivada $6 x^{2} + 6 x - 36$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 6 {(0)}^{2} + 6 (0) - 36$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 6 \cdot 0 + 6 (0) - 36$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $6$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 6 (0) - 36$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique $6$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 36$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 36$

Etapa 3.3.2.2.2

Subtraia $36$ de $0$ .

$f' (0) = - 36$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $- 36$ .

$- 36$

Etapa 3.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(2, \infty)$ na primeira derivada $6 x^{2} + 6 x - 36$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 6 {(4)}^{2} + 6 (4) - 36$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 6 \cdot 16 + 6 (4) - 36$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $6$ por $16$ .

$f' (4) = 96 + 6 (4) - 36$

Etapa 3.4.2.1.3

Multiplique $6$ por $4$ .

$f' (4) = 96 + 24 - 36$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Some $96$ e $24$ .

$f' (4) = 120 - 36$

Etapa 3.4.2.2.2

Subtraia $36$ de $120$ .

$f' (4) = 84$

Etapa 3.4.2.3

A resposta final é $84$ .

$84$

Etapa 3.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - 3$ , então $x = - 3$ é um máximo local.

$x = - 3$ é um máximo local

Etapa 3.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 2$ , então $x = 2$ é um mínimo local.

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 3.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ .

$x = - 3$ é um máximo local

$x = 2$ é um mínimo local

$x = - 3$ é um máximo local

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Nenhum máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(2, - 37)$

Etapa 5