Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{9}{x - 1}$ , $[1, 4]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{9}{x - 1}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$9 (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- 9 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.1.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.1.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Etapa 1.1.1.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} \cdot 1$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2}$

Etapa 1.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1

Combine $- 9$ e $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$9 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $9 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.3.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{9}{x - 1}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{9}{(1) - 1}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{9}{0}$

Etapa 1.4.1.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{9}{(1) - 1}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{9}{0}$

Etapa 2.1.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.2

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

$\frac{9}{(4) - 1}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{9}{3}$

Etapa 2.2.2.2

Divida $9$ por $3$ .

$3$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(4, 3)$

Etapa 3

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Nenhum máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(4, 3)$

Etapa 5