Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ , $[- 36, 36]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 36$ e $g (x) = x^{2} + 36$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36] - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + 0) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 36$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1

Combine os termos opostos em $2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1.1

Subtraia $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot 36 x + 0 - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.2

Some $2 \cdot 36 x$ e $0$ .

$\frac{2 \cdot 36 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.2.1

Multiplique $2$ por $36$ .

$\frac{72 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 36$ .

$\frac{72 x + 72 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.3

Some $72 x$ e $72 x$ .

$f' (x) = \frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$144 x = 0$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $144 x = 0$ por $144$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $144 x = 0$ por $144$ .

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $144$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{144}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida $0$ por $144$ .

$x = 0$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 36}{{(0)}^{2} + 36}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 - 36}{0^{2} + 36}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Subtraia $36$ de $0$ .

$\frac{- 36}{0^{2} + 36}$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{- 36}{0 + 36}$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Some $0$ e $36$ .

$\frac{- 36}{36}$

Etapa 1.4.1.2.3

Divida $- 36$ por $36$ .

$- 1$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(0, - 1)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 36$ por $x$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{{(- 36)}^{2} + 36}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(- 36)}^{2} - 36$ e ${(- 36)}^{2} + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.1

Fatore $- 1$ de ${(- 36)}^{2}$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) + 36}$

Etapa 2.1.2.1.1.2

Reescreva $36$ como $- 1 (- 36)$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)}$

Etapa 2.1.2.1.1.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Etapa 2.1.2.1.1.4

Fatore $- 36$ de ${(- 36)}^{2}$ .

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Etapa 2.1.2.1.1.5

Fatore $- 36$ de $- 36$ .

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36 (1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Etapa 2.1.2.1.1.6

Fatore $- 36$ de $- 36 \cdot - 36 - 36 (1)$ .

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Etapa 2.1.2.1.1.7

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.7.1

Fatore $- 36$ de $- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)$ .

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

Etapa 2.1.2.1.1.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

Etapa 2.1.2.1.1.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 36 + 1}{- 1 (- - 36 + 1)}$

Etapa 2.1.2.1.2

Some $- 36$ e $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 (- - 36 + 1)}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 36$ .

$\frac{- 35}{- 1 (36 + 1)}$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $36$ e $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 \cdot 37}$

Etapa 2.1.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $37$ .

$\frac{- 35}{- 37}$

Etapa 2.1.2.3.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{35}{37}$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $36$ por $x$ .

$\frac{{(36)}^{2} - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de ${(36)}^{2} - 36$ e ${(36)}^{2} + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Fatore $- 1$ de ${(36)}^{2}$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

Etapa 2.2.2.1.2

Reescreva $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)}{{(36)}^{2} + 36}$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2} + 36)}{{(36)}^{2} + 36}$

Etapa 2.2.2.1.4

Fatore $36$ de $- 1 (- 36^{2} + 36)$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36^{2} + 36}$

Etapa 2.2.2.1.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.5.1

Fatore $36$ de $36^{2}$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36}$

Etapa 2.2.2.1.5.2

Fatore $36$ de $36$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36 (1)}$

Etapa 2.2.2.1.5.3

Fatore $36$ de $36 \cdot 36 + 36 (1)$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

Etapa 2.2.2.1.5.4

Cancele o fator comum.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

Etapa 2.2.2.1.5.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 36 + 1)}{36 + 1}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$\frac{- 1 (- 36 + 1)}{36 + 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Some $- 36$ e $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{36 + 1}$

Etapa 2.2.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Some $36$ e $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{37}$

Etapa 2.2.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 35$ .

$\frac{35}{37}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

Mínimo absoluto: $(0, - 1)$

Etapa 4