Cálculo Exemplos

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ , $[1, 5]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Etapa 1.1.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Etapa 1.2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 1.2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 1.2.4

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 1.2.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - x^{2}$

Etapa 1.2.5

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.5.1

Reescreva a equação como $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Etapa 1.2.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 1.2.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.2.5.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.2.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.2.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.2.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 1.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $x + \frac{1}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$(1) + \frac{1}{1}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Divida $1$ por $1$ .

$1 + 1$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $1$ e $1$ .

$2$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$(- 1) + \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$- 1 - 1$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$- 2$

Etapa 1.4.3

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$(0) + \frac{1}{0}$

Etapa 1.4.3.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.4.4

Liste todos os pontos.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(1, 2)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$(1) + \frac{1}{1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida $1$ por $1$ .

$1 + 1$

Etapa 3.1.2.2

Some $1$ e $1$ .

$2$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 5$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $5$ por $x$ .

$(5) + \frac{1}{5}$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$5 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}$

Etapa 3.2.2.2

Combine $5$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}$

Etapa 3.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 \cdot 5 + 1}{5}$

Etapa 3.2.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.2.4.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{25 + 1}{5}$

Etapa 3.2.2.4.2

Some $25$ e $1$ .

$\frac{26}{5}$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(1, 2), (5, \frac{26}{5})$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(5, \frac{26}{5})$

Mínimo absoluto: $(1, 2)$

Etapa 5