Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 + 5 x - 5 x^{2}$ , $[0, 4]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + 5 x - 5 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$0 + 5 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 5 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 5 - 5 (2 x)$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$0 + 5 - 10 x$

Etapa 1.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Some $0$ e $5$ .

$5 - 10 x$

Etapa 1.1.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - 10 x + 5$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 10 x + 5$ .

$- 10 x + 5$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 10 x + 5 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 10 x + 5 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 10 x = - 5$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $- 10 x = - 5$ por $- 10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $- 10 x = - 5$ por $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 5}{- 10}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 5}{- 10}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 10}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 5$ e $- 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5$ .

$x = \frac{- 5 (1)}{- 10}$

Etapa 1.2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1.2.1

Fatore $- 5$ de $- 10$ .

$x = \frac{- 5 \cdot 1}{- 5 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 5 \cdot 1}{- 5 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $3 + 5 x - 5 x^{2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$3 + 5 (\frac{1}{2}) - 5 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Combine $5$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 + \frac{5}{2} - 5 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$3 + \frac{5}{2} - 5 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 + \frac{5}{2} - 5 \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$3 + \frac{5}{2} - 5 (\frac{1}{4})$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Combine $- 5$ e $\frac{1}{4}$ .

$3 + \frac{5}{2} + \frac{- 5}{4}$

Etapa 1.4.1.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

Etapa 1.4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Escreva $3$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{3}{1} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

Etapa 1.4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{4}$

Etapa 1.4.1.2.2.5

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{5}{4}$

Etapa 1.4.1.2.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5 \cdot 2}{4} - \frac{5}{4}$

Etapa 1.4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \cdot 4 + 5 \cdot 2 - 5}{4}$

Etapa 1.4.1.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12 + 5 \cdot 2 - 5}{4}$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{12 + 10 - 5}{4}$

Etapa 1.4.1.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.5.1

Some $12$ e $10$ .

$\frac{22 - 5}{4}$

Etapa 1.4.1.2.5.2

Subtraia $5$ de $22$ .

$\frac{17}{4}$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(\frac{1}{2}, \frac{17}{4})$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$3 + 5 (0) - 5 {(0)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$3 + 0 - 5 {(0)}^{2}$

Etapa 2.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 + 0 - 5 \cdot 0$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$3 + 0 + 0$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Some $3$ e $0$ .

$3 + 0$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

$3 + 5 (4) - 5 {(4)}^{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$3 + 20 - 5 {(4)}^{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$3 + 20 - 5 \cdot 16$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $- 5$ por $16$ .

$3 + 20 - 80$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Some $3$ e $20$ .

$23 - 80$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia $80$ de $23$ .

$- 57$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(0, 3), (4, - 57)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{1}{2}, \frac{17}{4})$

Mínimo absoluto: $(4, - 57)$

Etapa 4