Cálculo Exemplos

$f (x) = 18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ , $[0, 12]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x^{2}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $18$ .

$36 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- \frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{2} x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$36 x - \frac{3}{2} (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$36 x - 3 (\frac{3}{2}) x^{2}$

Etapa 1.1.1.3.4

Combine $- 3$ e $\frac{3}{2}$ .

$36 x + \frac{- 3 \cdot 3}{2} x^{2}$

Etapa 1.1.1.3.5

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$36 x + \frac{- 9}{2} x^{2}$

Etapa 1.1.1.3.6

Combine $\frac{- 9}{2}$ e $x^{2}$ .

$36 x + \frac{- 9 x^{2}}{2}$

Etapa 1.1.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$36 x - \frac{9 x^{2}}{2}$

Etapa 1.1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$

Etapa 1.2.2

Multiplique cada termo em $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ por $2$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ por $2$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{9 x^{2}}{2}$ para o numerador.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Etapa 1.2.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- 9 x^{2} + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $36$ .

$- 9 x^{2} + 72 x = 0 \cdot 2$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$- 9 x^{2} + 72 x = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $- 9 x$ de $- 9 x^{2} + 72 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Fatore $- 9 x$ de $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x \cdot x + 72 x = 0$

Etapa 1.2.3.2

Fatore $- 9 x$ de $72 x$ .

$- 9 x \cdot x - 9 x \cdot - 8 = 0$

Etapa 1.2.3.3

Fatore $- 9 x$ de $- 9 x (x) - 9 x (- 8)$ .

$- 9 x (x - 8) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $- 9 x (x - 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 8$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $18$ por $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Etapa 1.4.1.2.1.4.2

Multiplique $0$ por $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $8$ por $x$ .

$18 {(8)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$18 \cdot 64 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $18$ por $64$ .

$1152 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$1152 - \frac{3}{2} \cdot 512$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot 512$

Etapa 1.4.2.2.1.4.2

Fatore $2$ de $512$ .

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (256))$

Etapa 1.4.2.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 256)$

Etapa 1.4.2.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$1152 - 3 \cdot 256$

Etapa 1.4.2.2.1.5

Multiplique $- 3$ por $256$ .

$1152 - 768$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia $768$ de $1152$ .

$384$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (8, 384)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $18$ por $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Etapa 2.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Etapa 2.1.2.1.4

Multiplique $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Etapa 2.1.2.1.4.2

Multiplique $0$ por $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Etapa 2.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $12$ por $x$ .

$18 {(12)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$18 \cdot 144 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $18$ por $144$ .

$2592 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Etapa 2.2.2.1.3

Eleve $12$ à potência de $3$ .

$2592 - \frac{3}{2} \cdot 1728$

Etapa 2.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot 1728$

Etapa 2.2.2.1.4.2

Fatore $2$ de $1728$ .

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (864))$

Etapa 2.2.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 864)$

Etapa 2.2.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$2592 - 3 \cdot 864$

Etapa 2.2.2.1.5

Multiplique $- 3$ por $864$ .

$2592 - 2592$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $2592$ de $2592$ .

$0$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (12, 0)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(8, 384)$

Mínimo absoluto: $(0, 0), (12, 0)$

Etapa 4