Cálculo Exemplos

$g (x) = 2 x^{2} - x - 1$ , $[3, 5]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x - 1 + 0$

Etapa 1.1.1.4.2

Some $4 x - 1$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x - 1$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $4 x - 1$ .

$4 x - 1$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x - 1 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 x = 1$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $2 x^{2} - x - 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{1}{4}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{1}{4}$ por $x$ .

$2 {(\frac{1}{4})}^{2} - (\frac{1}{4}) - 1$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$2 \frac{1^{2}}{4^{2}} - (\frac{1}{4}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \frac{1}{4^{2}} - (\frac{1}{4}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$2 (\frac{1}{16}) - (\frac{1}{4}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.1.2.1.4.1

Fatore $2$ de $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - (\frac{1}{4}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - (\frac{1}{4}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{8} - (\frac{1}{4}) - 1$

$\frac{1}{8} - \frac{1}{4} - 1$

Etapa 1.4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} - 1$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{1}$

Etapa 1.4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 1.4.1.2.2.5

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Etapa 1.4.1.2.2.6

Reordene os fatores de $4 \cdot 2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{2 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Etapa 1.4.1.2.2.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Etapa 1.4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 2 - 1 \cdot 8}{8}$

Etapa 1.4.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.1.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{1 - 2 - 8}{8}$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 - 8}{8}$

Etapa 1.4.1.2.4.3

Subtraia $8$ de $- 1$ .

$\frac{- 9}{8}$

Etapa 1.4.1.2.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9}{8}$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = 3$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $3$ por $x$ .

$2 {(3)}^{2} - (3) - 1$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$2 \cdot 9 - (3) - 1$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$18 - (3) - 1$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$18 - 3 - 1$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Subtraia $3$ de $18$ .

$15 - 1$

Etapa 3.1.2.2.2

Subtraia $1$ de $15$ .

$14$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 5$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $5$ por $x$ .

$2 {(5)}^{2} - (5) - 1$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$2 \cdot 25 - (5) - 1$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$50 - (5) - 1$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$50 - 5 - 1$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 3.2.2.2.1

Subtraia $5$ de $50$ .

$45 - 1$

Etapa 3.2.2.2.2

Subtraia $1$ de $45$ .

$44$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(3, 14), (5, 44)$

Etapa 4

Compare os valores de $g (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $g (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $g (x)$ .

Máximo absoluto: $(5, 44)$

Mínimo absoluto: $(3, 14)$

Etapa 5