Cálculo Exemplos

$f (x) = x + e^{- 4 x}$ , $[- 2, 3]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + e^{- 4 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 4 x$ .

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Etapa 1.1.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 1.1.1.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 1.1.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 1.1.1.2.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Etapa 1.1.1.2.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Etapa 1.1.1.2.5

Mova $- 4$ para a esquerda de $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 - 4 e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $e^{- 4 x}$ por $1$ .

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

Etapa 1.2.4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

Etapa 1.2.5

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.5.1

Expanda $\ln (e^{- 4 x})$ movendo $- 4 x$ para fora do logaritmo.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

Etapa 1.2.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

Etapa 1.2.5.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

Etapa 1.2.6

Divida cada termo em $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 1.2.6.1

Divida cada termo em $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Etapa 1.2.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.6.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 1.2.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Etapa 1.2.6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Etapa 1.2.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x + e^{- 4 x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ por $x$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1

Reescreva $\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ como $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ .

$- (\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ movendo $\frac{1}{4}$ para dentro do logaritmo.

$- \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Etapa 1.4.1.2.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$- \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Etapa 1.4.1.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Etapa 1.4.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.4.1.2.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ para o numerador.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Etapa 1.4.1.2.5.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Etapa 1.4.1.2.5.3

Cancele o fator comum.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Etapa 1.4.1.2.5.4

Reescreva a expressão.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

Etapa 1.4.1.2.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

Etapa 1.4.1.2.7

Multiplique $\ln (\frac{1}{4})$ por $1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln (\frac{1}{4})}$

Etapa 1.4.1.2.8

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$(- 2) + e^{- 4 \cdot - 2}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$- 2 + e^{8}$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 3$ .

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Etapa 2.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

$(3) + e^{- 4 \cdot 3}$

Etapa 2.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$3 + e^{- 12}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{1}{e^{12}}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, - 2 + e^{8}), (3, 3 + \frac{1}{e^{12}})$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 2, - 2 + e^{8})$

Mínimo absoluto: $(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Etapa 4