Cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} = 16 x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (16 x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Etapa 2.3

Reordene os termos.

$2 y y' + 2 x$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$16$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' + 2 x = 16$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 y y' = 16 - 2 x$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 y y' = 16 - 2 x$ por $2 y$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 y y' = 16 - 2 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $16$ .

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{8}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{8}{y} + \frac{- x}{y}$

Etapa 5.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{8}{y} - \frac{x}{y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} - \frac{x}{y}$

Etapa 7

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 7.1

Subtraia $\frac{8}{y}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Etapa 7.2

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$- x = - 8$

Etapa 7.3

Divida cada termo em $- x = - 8$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.3.1

Divida cada termo em $- x = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 7.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 7.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 7.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.3.1

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$x = 8$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$64 + y^{2} = 16 (8)$

Etapa 8.2

Multiplique $16$ por $8$ .

$64 + y^{2} = 128$

Etapa 8.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 8.3.1

Subtraia $64$ dos dois lados da equação.

$y^{2} = 128 - 64$

Etapa 8.3.2

Subtraia $64$ de $128$ .

$y^{2} = 64$

Etapa 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64}$

Etapa 8.5

Simplifique $\pm \sqrt{64}$ .

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Etapa 8.5.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2}}$

Etapa 8.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \pm 8$

Etapa 8.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 8.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = 8$

Etapa 8.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - 8$

Etapa 8.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = 8, - 8$

Etapa 9

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(8, 8)$

$(8, - 8)$

Etapa 10