Cálculo Exemplos

$10 \sin (x y) = 2 x + 3 y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (10 \sin (x y)) = \frac{d}{d x} (2 x + 3 y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 \sin (x y)$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$10 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$10 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$10 (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$10 \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$10 \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$10 \cos (x y) (x y' + y)$

Etapa 2.7

Simplifique.

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Etapa 2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 \cos (x y) (x y') + 10 \cos (x y) y$

Etapa 2.7.2

Reordene os termos.

$10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 + 3 y'$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$3 y' + 2$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y) = 3 y' + 2$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y)$ .

$10 x y' \cos (x y) + 10 y \cos (x y) = 3 y' + 2$

Etapa 5.2

Subtraia $3 y'$ dos dois lados da equação.

$10 x y' \cos (x y) + 10 y \cos (x y) - 3 y' = 2$

Etapa 5.3

Subtraia $10 y \cos (x y)$ dos dois lados da equação.

$10 x y' \cos (x y) - 3 y' = 2 - 10 y \cos (x y)$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $10 x y' \cos (x y) - 3 y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $10 x y' \cos (x y)$ .

$y' (10 x \cos (x y)) - 3 y' = 2 - 10 y \cos (x y)$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $- 3 y'$ .

$y' (10 x \cos (x y)) + y' \cdot - 3 = 2 - 10 y \cos (x y)$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $y' (10 x \cos (x y)) + y' \cdot - 3$ .

$y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$ por $10 x \cos (x y) - 3$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$ por $10 x \cos (x y) - 3$ .

$\frac{y' (10 x \cos (x y) - 3)}{10 x \cos (x y) - 3} = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $10 x \cos (x y) - 3$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (10 x \cos (x y) - 3)}{10 x \cos (x y) - 3} = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} - \frac{10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Etapa 5.5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 - 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Etapa 5.5.3.3

Fatore $2$ de $2 - 10 y \cos (x y)$ .

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Etapa 5.5.3.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y' = \frac{2 (1) - 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Etapa 5.5.3.3.2

Fatore $2$ de $- 10 y \cos (x y)$ .

$y' = \frac{2 (1) + 2 (- 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Etapa 5.5.3.3.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- 5 y \cos (x y))$ .

$y' = \frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Etapa 7

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 7.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$

Etapa 7.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1.1

Divida cada termo em $2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 7.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 7.2.1.2.1.2

Divida $1 - 5 y \cos (x y)$ por $1$ .

$1 - 5 y \cos (x y) = \frac{0}{2}$

Etapa 7.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$1 - 5 y \cos (x y) = 0$

Etapa 7.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 5 y \cos (x y) = - 1$

Etapa 7.2.3

Divida cada termo em $- 5 y \cos (x y) = - 1$ por $- 5 y$ e simplifique.

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Etapa 7.2.3.1

Divida cada termo em $- 5 y \cos (x y) = - 1$ por $- 5 y$ .

$\frac{- 5 y \cos (x y)}{- 5 y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Etapa 7.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

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Etapa 7.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 y \cos (x y)}{- 5 y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Etapa 7.2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Etapa 7.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 7.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Etapa 7.2.3.2.2.2

Divida $\cos (x y)$ por $1$ .

$\cos (x y) = \frac{- 1}{- 5 y}$

Etapa 7.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cos (x y) = \frac{1}{5 y}$

Etapa 7.2.4

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$

Etapa 7.2.5

Divida cada termo em $x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 7.2.5.1

Divida cada termo em $x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$ por $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Etapa 7.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 7.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Etapa 7.2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique $10 \sin ((\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) y)$ .

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Etapa 8.1.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 8.1.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 8.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$10 \sin (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y} y) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$10 \sin (\arccos (\frac{1}{5 y})) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.1.2

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 8.1.1.2.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\frac{1}{5 y}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}})$ , $(\frac{1}{5 y}, 0)$ e a origem. Então, $\arccos (\frac{1}{5 y})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\frac{1}{5 y}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}})$ . Portanto, $\sin (\arccos (\frac{1}{5 y}))$ é $\sqrt{1 - {(\frac{1}{5 y})}^{2}}$ .

$10 \sqrt{1 - {(\frac{1}{5 y})}^{2}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.1.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$10 \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{1}{5 y}$ .

$10 \sqrt{(1 + \frac{1}{5 y}) (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$10 \sqrt{(\frac{5 y}{5 y} + \frac{1}{5 y}) (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} (\frac{5 y}{5 y} - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} \cdot \frac{5 y - 1}{5 y}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.3.5

Multiplique $\frac{5 y + 1}{5 y}$ por $\frac{5 y - 1}{5 y}$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{5 y (5 y)}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.4

Combine expoentes.

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Etapa 8.1.4.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y \cdot y}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.4.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 (y^{1} y)}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.4.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 (y^{1} y^{1})}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{1 + 1}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{2}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.5

Reescreva $\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{2}}$ como ${(\frac{1}{5 y})}^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))$ .

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Etapa 8.1.5.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(5 y + 1) (5 y - 1)$ .

$10 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{25 y^{2}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.5.2

Fatore a potência perfeita ${(5 y)}^{2}$ de $25 y^{2}$ .

$10 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{{(5 y)}^{2} \cdot 1}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.5.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{{(5 y)}^{2} \cdot 1}$ .

$10 \sqrt{{(\frac{1}{5 y})}^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$10 (\frac{1}{5 y} \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.7

Combine $\frac{1}{5 y}$ e $\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}$ .

$10 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.8

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 8.1.8.1

Fatore $5$ de $10$ .

$5 (2) \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.8.2

Fatore $5$ de $5 y$ .

$5 (2) \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 (y)} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.8.3

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 2 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.8.4

Reescreva a expressão.

$2 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.1.9

Combine $2$ e $\frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y}$ .

$\frac{2 \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Etapa 8.2

Combine $2$ e $\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$ .

$\frac{2 \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = \frac{2 \arccos (\frac{1}{5 y})}{y} + 3 y$

Etapa 8.3

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$y \approx 0.24419009, 2.99063055$

Etapa 9

Resolva para $x$ quando $y$ for $0.24419009$ .

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Etapa 9.1

Remova os parênteses.

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 (0.24419009)})}{0.24419009}$

Etapa 9.2

Simplifique $\frac{\arccos (\frac{1}{5 (0.24419009)})}{0.24419009}$ .

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Etapa 9.2.1

Multiplique $5$ por $0.24419009$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{1.22095048})}{0.24419009}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Divida $1$ por $1.22095048$ .

$x = \frac{\arccos (0.81903403)}{0.24419009}$

Etapa 9.2.2.2

Avalie $\arccos (0.81903403)$ .

$x = \frac{0.61107095}{0.24419009}$

Etapa 9.2.3

Divida $0.61107095$ por $0.24419009$ .

$x = 2.50243954$

Etapa 10

Resolva para $x$ quando $y$ for $2.99063055$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Remova os parênteses.

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 (2.99063055)})}{2.99063055}$

Etapa 10.2

Simplifique $\frac{\arccos (\frac{1}{5 (2.99063055)})}{2.99063055}$ .

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Etapa 10.2.1

Multiplique $5$ por $2.99063055$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{14.95315279})}{2.99063055}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Divida $1$ por $14.95315279$ .

$x = \frac{\arccos (0.06687552)}{2.99063055}$

Etapa 10.2.2.2

Avalie $\arccos (0.06687552)$ .

$x = \frac{1.50387084}{2.99063055}$

Etapa 10.2.3

Divida $1.50387084$ por $2.99063055$ .

$x = 0.50286079$

Etapa 11

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(2.50243954, 0.24419009)$

$(0.50286079, 2.99063055)$

Etapa 12