Cálculo Exemplos

$y^{2} = x^{2} + y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' = 2 x + y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$2 y y' - y' = 2 x$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $2 y y' - y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - y' = 2 x$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 x$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 y - 1) = 2 x$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (2 y - 1) = 2 x$ por $2 y - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (2 y - 1) = 2 x$ por $2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 y - 1$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Etapa 7

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 7.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x = 0$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique $0^{2} + y$ .

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Etapa 8.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y^{2} = 0 + y$

Etapa 8.1.2

Some $0$ e $y$ .

$y^{2} = y$

Etapa 8.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - y = 0$

Etapa 8.3

Fatore $y$ de $y^{2} - y$ .

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Etapa 8.3.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y \cdot y - y = 0$

Etapa 8.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 1 = 0$

Etapa 8.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot y + y \cdot - 1$ .

$y (y - 1) = 0$

Etapa 8.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y = 0$

$y - 1 = 0$

Etapa 8.5

Defina $y$ como igual a $0$ .

$y = 0$

Etapa 8.6

Defina $y - 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 8.6.1

Defina $y - 1$ como igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

Etapa 8.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 1$

Etapa 8.7

A solução final são todos os valores que tornam $y (y - 1) = 0$ verdadeiro.

$y = 0, 1$

Etapa 9

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

$(0, 1)$

Etapa 10