Cálculo Exemplos

$x^{2} + x y + y^{2} = 27$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x y + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Etapa 3

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $x y' + 2 y y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ por $x + 2 y$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ por $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.5.1

Reescreva $- (2 x + y)$ como $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Etapa 5.3.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Etapa 7

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 7.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x + y = 0$

Etapa 7.2

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$2 x = - y$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $2 x = - y$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{y}{2}$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2}$ .

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Etapa 8.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 8.1.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Etapa 8.1.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Etapa 8.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Etapa 8.1.1.3

Multiplique $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Etapa 8.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Etapa 8.1.1.5

Multiplique $(- \frac{y}{2}) y$ .

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Etapa 8.1.1.5.1

Combine $y$ e $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} + y^{2} = 27$

Etapa 8.1.1.5.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} + y^{2} = 27$

Etapa 8.1.1.5.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} + y^{2} = 27$

Etapa 8.1.1.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + y^{2} = 27$

Etapa 8.1.1.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} + y^{2} = 27$

Etapa 8.1.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Multiplique $\frac{y^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - (\frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2}) + y^{2} = 27$

Etapa 8.1.2.2

Multiplique $\frac{y^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + y^{2} = 27$

Etapa 8.1.2.3

Escreva $y^{2}$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} = 27$

Etapa 8.1.2.4

Multiplique $\frac{y^{2}}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{4}{4} = 27$

Etapa 8.1.2.5

Multiplique $\frac{y^{2}}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Etapa 8.1.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Etapa 8.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Etapa 8.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Etapa 8.1.4.2

Mova $4$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Etapa 8.1.5

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.5.1

Subtraia $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Etapa 8.1.5.2

Some $- y^{2}$ e $4 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{4} = 27$

Etapa 8.2

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Etapa 8.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Simplifique $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.1

Combine.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Etapa 8.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Etapa 8.3.1.1.3.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Simplifique $\frac{4}{3} \cdot 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1.1

Fatore $3$ de $27$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 (9))$

Etapa 8.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot 9)$

Etapa 8.3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 4 \cdot 9$

Etapa 8.3.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$y^{2} = 36$

Etapa 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{36}$

Etapa 8.5

Simplifique $\pm \sqrt{36}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{6^{2}}$

Etapa 8.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \pm 6$

Etapa 8.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = 6$

Etapa 8.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - 6$

Etapa 8.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = 6, - 6$

Etapa 9

Solve for $x$ when $y$ is $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Remova os parênteses.

$x = - \frac{6}{2}$

Etapa 9.2

Simplifique $- \frac{6}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Divida $6$ por $2$ .

$x = - 1 \cdot 3$

Etapa 9.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x = - 3$

Etapa 10

Simplifique $- \frac{- 6}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $- 6$ por $2$ .

$x = - - 3$

Etapa 10.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$x = 3$

Etapa 11

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- 3, 6)$

$(3, - 6)$

Etapa 12