Cálculo Exemplos

$3 x y = \ln (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (3 x y) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$3 (x y' + y)$

Etapa 2.6

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x y' + 3 y$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x y' + 3 y = \frac{1}{x}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Subtraia $3 y$ dos dois lados da equação.

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ por $3 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ por $3 x$ .

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.3.1.2

Multiplique $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{3 x}$ .

$y' = \frac{1}{x (3 x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x^{1})} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.3.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \frac{1}{3 x^{1 + 1}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.3.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.3.1

Fatore $3$ de $- 3 y$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Etapa 5.2.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.3.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

Etapa 5.2.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Etapa 5.2.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- y}{x}$

Etapa 5.2.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Etapa 7

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$3 x^{2}, x, 1$

Etapa 7.1.2

Since $3 x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Etapa 7.1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 7.1.4

Como $3$ não tem fatores além de $1$ e $3$ .

$3$ é um número primo

Etapa 7.1.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 7.1.6

O MMC de $3, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$3$

Etapa 7.1.7

Os fatores para $x^{2}$ são $x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 7.1.8

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 7.1.9

O MMC de $x^{2}, x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x$

Etapa 7.1.10

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2}$

Etapa 7.1.11

O MMC de $3 x^{2}, x, 1$ é a parte numérica $3$ multiplicada pela parte variável.

$3 x^{2}$

Etapa 7.2

Multiplique cada termo em $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ por $3 x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ por $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3 x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Etapa 7.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 \frac{1}{3 (x^{2})} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Etapa 7.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Etapa 7.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Etapa 7.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$1 - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Etapa 7.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y}{x}$ para o numerador.

$1 + \frac{- y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Etapa 7.2.2.1.4.2

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Etapa 7.2.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Etapa 7.2.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$1 - y (3 x) = 0 (3 x^{2})$

Etapa 7.2.2.1.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$1 - 3 y x = 0 (3 x^{2})$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $0 (3 x^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$1 - 3 y x = 0 x^{2}$

Etapa 7.2.3.1.2

Multiplique $0$ por $x^{2}$ .

$1 - 3 y x = 0$

Etapa 7.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 3 y x = - 1$

Etapa 7.3.2

Divida cada termo em $- 3 y x = - 1$ por $- 3 y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Divida cada termo em $- 3 y x = - 1$ por $- 3 y$ .

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Etapa 7.3.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Etapa 7.3.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Etapa 7.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3 y}$

Etapa 7.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{3 y}$

Etapa 8

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + 3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Etapa 8.1.2

Simplifique somando os zeros.

$3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Etapa 8.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.3.1

Fatore $3$ de $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Etapa 8.1.3.2

Cancele o fator comum.

$3 \frac{1}{3 y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Etapa 8.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Etapa 8.1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Etapa 8.1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \ln (\frac{1}{3 y})$

Etapa 8.2

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$

Etapa 8.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{1}{3 y})} = e^{1}$

Etapa 8.4

Reescreva $\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = \frac{1}{3 y}$

Etapa 8.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{3 y} = e^{1}$ .

$\frac{1}{3 y} = e$

Etapa 8.5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$3 y, 1$

Etapa 8.5.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$3 y$

Etapa 8.5.3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{3 y} = e$ por $3 y$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{3 y} = e$ por $3 y$ .

$\frac{1}{3 y} (3 y) = e (3 y)$

Etapa 8.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Etapa 8.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.2.2.1

Fatore $3$ de $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} y = e (3 y)$

Etapa 8.5.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Etapa 8.5.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Etapa 8.5.3.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Etapa 8.5.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$1 = e (3 y)$

Etapa 8.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $e$ .

$1 = 3 e y$

Etapa 8.5.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.4.1

Reescreva a equação como $3 e y = 1$ .

$3 e y = 1$

Etapa 8.5.4.2

Divida cada termo em $3 e y = 1$ por $3 e$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.4.2.1

Divida cada termo em $3 e y = 1$ por $3 e$ .

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Etapa 8.5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Etapa 8.5.4.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Etapa 8.5.4.2.2.2

Cancele o fator comum de $e$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Etapa 8.5.4.2.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3 e}$

Etapa 9

Solve for $x$ when $y$ is $\frac{1}{3 e}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $3$ por $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$

Etapa 9.2

Simplifique $\frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Etapa 9.2.2

Reduza a expressão $\frac{3}{3 e}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Etapa 9.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{\frac{1}{e}}$

Etapa 9.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = 1 e$

Etapa 9.2.4

Multiplique $e$ por $1$ .

$x = e$

Etapa 10

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(e, \frac{1}{3 e})$

Etapa 11