Cálculo Exemplos

$\cot (y) = x - y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\cot (u)$ em relação a $u$ é $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- \csc^{2} (y) y' = 1 - y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- \csc^{2} (y) y'$ .

$- y' \csc^{2} (y) = 1 - y'$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que contêm $y'$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Some $y'$ aos dois lados da equação.

$- y' \csc^{2} (y) + y' = 1$

Etapa 5.2.2

Reordene $- y' \csc^{2} (y)$ e $y'$ .

$y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

Etapa 5.2.3

Reescreva $y'$ como $1 y'$ .

$1 y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

Etapa 5.2.4

Fatore $- y'$ de $1 y'$ .

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

Etapa 5.2.5

Fatore $- y'$ de $- y' \csc^{2} (y)$ .

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

Etapa 5.2.6

Fatore $- y'$ de $- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y)$ .

$- y' (- 1 + \csc^{2} (y)) = 1$

Etapa 5.2.7

Reorganize os termos.

$- y' (\csc^{2} (y) - 1) = 1$

Etapa 5.2.8

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- y' \cot^{2} (y) = 1$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- y' \cot^{2} (y) = 1$ por $- \cot^{2} (y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- y' \cot^{2} (y) = 1$ por $- \cot^{2} (y)$ .

$\frac{- y' \cot^{2} (y)}{- \cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $\cot^{2} (y)$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \cot^{2} (y)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1}{\cot^{2} (y)}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y' = - \frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva $\frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$ como ${(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$ .

$y' = - {(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$

Etapa 5.3.3.4

Reescreva $\cot (y)$ em termos de senos e cossenos.

$y' = - {(\frac{1}{\frac{\cos (y)}{\sin (y)}})}^{2}$

Etapa 5.3.3.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

$y' = - {(\frac{\sin (y)}{\cos (y)})}^{2}$

Etapa 5.3.3.6

Converta de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ em $\tan (y)$ .

$y' = - \tan^{2} (y)$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \tan^{2} (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $- \tan^{2} (y) = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.1.1

Divida cada termo em $- \tan^{2} (y) = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (y)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 7.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan^{2} (y)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 7.1.2.2

Divida $\tan^{2} (y)$ por $1$ .

$\tan^{2} (y) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 7.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$\tan^{2} (y) = 0$

Etapa 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (y) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 7.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 7.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\tan (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 7.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\tan (y) = \pm 0$

Etapa 7.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\tan (y) = 0$

Etapa 7.4

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da tangente.

$y = \arctan (0)$

Etapa 7.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.5.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$y = 0$

Etapa 7.6

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$y = π + 0$

Etapa 7.7

Some $π$ e $0$ .

$y = π$

Etapa 7.8

Encontre o período de $\tan (y)$ .

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Etapa 7.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 7.8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 7.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 7.8.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 7.9

O período da função $\tan (y)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$y = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7.10

Consolide as respostas.

$y = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.1

Remova os parênteses.

$\cot (y) = π n - y$

Etapa 9

Solve for $x$ when $y$ is $π n - y$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que contêm $n$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $π n$ dos dois lados da equação.

$π n - y - π n = 0$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $π n - y - π n$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $π n$ de $π n$ .

$- y + 0 = 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $- y$ e $0$ .

$- y = 0$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $- y = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $- y = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 9.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$y = 0$

Etapa 10

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, π n - y)$

Etapa 11