Cálculo Exemplos

$9 x^{2} + 25 y^{2} = 225$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (9 x^{2} + 25 y^{2}) = \frac{d}{d x} (225)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} + 25 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [25 y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25 y^{2}$ em relação a $x$ é $25 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$18 x + 25 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$18 x + 25 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$18 x + 25 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$18 x + 25 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$18 x + 25 (2 y y')$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $25$ .

$18 x + 50 y y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$50 y y' + 18 x$

Etapa 3

Como $225$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $225$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$50 y y' + 18 x = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $18 x$ dos dois lados da equação.

$50 y y' = - 18 x$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $50 y y' = - 18 x$ por $50 y$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $50 y y' = - 18 x$ por $50 y$ .

$\frac{50 y y'}{50 y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $50$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{50 y y'}{50 y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 18 x}{50 y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 18$ e $50$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 18 x$ .

$y' = \frac{2 (- 9 x)}{50 y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $50 y$ .

$y' = \frac{2 (- 9 x)}{2 (25 y)}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- 9 x)}{2 (25 y)}$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 9 x}{25 y}$

Etapa 5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{9 x}{25 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x}{25 y}$

Etapa 7

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 7.1

Defina o numerador como igual a zero.

$9 x = 0$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $9 x = 0$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $9 x = 0$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{0}{9}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x}{9} = \frac{0}{9}$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{9}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Divida $0$ por $9$ .

$x = 0$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique $9 \cdot 0^{2} + 25 y^{2}$ .

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Etapa 8.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$9 \cdot 0 + 25 y^{2} = 225$

Etapa 8.1.1.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$0 + 25 y^{2} = 225$

Etapa 8.1.2

Some $0$ e $25 y^{2}$ .

$25 y^{2} = 225$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $25 y^{2} = 225$ por $25$ e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $25 y^{2} = 225$ por $25$ .

$\frac{25 y^{2}}{25} = \frac{225}{25}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $25$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{25 y^{2}}{25} = \frac{225}{25}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{225}{25}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

Divida $225$ por $25$ .

$y^{2} = 9$

Etapa 8.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9}$

Etapa 8.4

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 8.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 8.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \pm 3$

Etapa 8.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 8.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = 3$

Etapa 8.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - 3$

Etapa 8.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = 3, - 3$

Etapa 9

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 3)$

$(0, - 3)$

Etapa 10