Cálculo Exemplos

$x \ln (y) + y^{6} = 9 \ln (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + y^{6}) = \frac{d}{d x} (9 \ln (x))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \ln (y) + y^{6}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Etapa 2.2.5

Combine $\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Etapa 2.2.6

Combine $x$ e $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $\ln (y)$ por $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{6}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 6 {u_{2}}^{5} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 6 y^{5} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 6 y^{5} y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$6 y^{5} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 \ln (x)$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$9 \frac{1}{x}$

Etapa 3.3

Combine $9$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{9}{x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 y^{5} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{9}{x}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, y, 1, x$

Etapa 5.1.2

Since $1, y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Etapa 5.1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 5.1.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 5.1.5

O MMC de $1, 1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 5.1.6

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 5.1.7

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 5.1.8

O MMC de $y^{1}, x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y x$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $6 y^{5} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{9}{x}$ por $y x$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $6 y^{5} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{9}{x}$ por $y x$ .

$6 y^{5} y' (y x) + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique $y^{5}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Mova $y$ .

$6 (y \cdot y^{5}) y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Multiplique $y$ por $y^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$6 (y^{1} y^{5}) y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Etapa 5.2.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 y^{1 + 5} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Etapa 5.2.2.1.1.3

Some $1$ e $5$ .

$6 y^{6} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$6 y^{6} y' x + \frac{x y'}{y} (y (x)) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$6 y^{6} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Etapa 5.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$6 y^{6} y' x + x y' x + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Etapa 5.2.2.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 y^{6} y' x + y' (x^{1} x) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Etapa 5.2.2.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 y^{6} y' x + y' (x^{1} x^{1}) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Etapa 5.2.2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 y^{6} y' x + y' x^{1 + 1} + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Etapa 5.2.2.1.6

Some $1$ e $1$ .

$6 y^{6} y' x + y' x^{2} + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Etapa 5.2.2.2

Reordene os fatores em $6 y^{6} y' x + y' x^{2} + \ln (y) (y x)$ .

$6 y^{6} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{9}{x} (y x)$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $x$ de $y x$ .

$6 y^{6} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{9}{x} (x y)$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$6 y^{6} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{9}{x} (x y)$

Etapa 5.2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$6 y^{6} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = 9 y$

Etapa 5.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Subtraia $y x \ln (y)$ dos dois lados da equação.

$6 y^{6} y' x + y' x^{2} = 9 y - y x \ln (y)$

Etapa 5.3.2

Fatore $y' x$ de $6 y^{6} y' x + y' x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $y' x$ de $6 y^{6} y' x$ .

$y' x (6 y^{6}) + y' x^{2} = 9 y - y x \ln (y)$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y' x$ de $y' x^{2}$ .

$y' x (6 y^{6}) + y' x \cdot x = 9 y - y x \ln (y)$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $y' x$ de $y' x (6 y^{6}) + y' x \cdot x$ .

$y' x (6 y^{6} + x) = 9 y - y x \ln (y)$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $y' x (6 y^{6} + x) = 9 y - y x \ln (y)$ por $x (6 y^{6} + x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $y' x (6 y^{6} + x) = 9 y - y x \ln (y)$ por $x (6 y^{6} + x)$ .

$\frac{y' x (6 y^{6} + x)}{x (6 y^{6} + x)} = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (6 y^{6} + x)}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' x (6 y^{6} + x)}{x (6 y^{6} + x)} = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (6 y^{6} + x)}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (6 y^{6} + x)}{6 y^{6} + x} = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (6 y^{6} + x)}$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $6 y^{6} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (6 y^{6} + x)}{6 y^{6} + x} = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (6 y^{6} + x)}$

Etapa 5.3.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (6 y^{6} + x)}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (6 y^{6} + x)}$

Etapa 5.3.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} + \frac{- y \ln (y)}{6 y^{6} + x}$

Etapa 5.3.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} - \frac{y \ln (y)}{6 y^{6} + x}$

Etapa 5.3.3.3.2

Para escrever $- \frac{y \ln (y)}{6 y^{6} + x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} - \frac{y \ln (y)}{6 y^{6} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 5.3.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (6 y^{6} + x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.3.1

Multiplique $\frac{y \ln (y)}{6 y^{6} + x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} - \frac{y \ln (y) x}{(6 y^{6} + x) x}$

Etapa 5.3.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(6 y^{6} + x) x$ .

$y' = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} - \frac{y \ln (y) x}{x (6 y^{6} + x)}$

Etapa 5.3.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{9 y - y \ln (y) x}{x (6 y^{6} + x)}$

Etapa 5.3.3.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.5.1

Fatore $y$ de $9 y - y \ln (y) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.5.1.1

Fatore $y$ de $9 y$ .

$y' = \frac{y \cdot 9 - y \ln (y) x}{x (6 y^{6} + x)}$

Etapa 5.3.3.3.5.1.2

Fatore $y$ de $- y \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y \cdot 9 + y (- 1 \ln (y) x)}{x (6 y^{6} + x)}$

Etapa 5.3.3.3.5.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot 9 + y (- 1 \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (9 - 1 \ln (y) x)}{x (6 y^{6} + x)}$

Etapa 5.3.3.3.5.2

Reescreva $- 1 \ln (y)$ como $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (9 - \ln (y) x)}{x (6 y^{6} + x)}$

Etapa 5.3.3.3.6

Reordene os fatores em $\frac{y (9 - \ln (y) x)}{x (6 y^{6} + x)}$ .

$y' = \frac{y (9 - x \ln (y))}{x (6 y^{6} + x)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (9 - x \ln (y))}{x (6 y^{6} + x)}$

Etapa 7

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina o numerador como igual a zero.

$y (9 - x \ln (y)) = 0$

Etapa 7.2

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $y (9 - x \ln (y)) = 0$ por $y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Divida cada termo em $y (9 - x \ln (y)) = 0$ por $y$ .

$\frac{y (9 - x \ln (y))}{y} = \frac{0}{y}$

Etapa 7.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (9 - x \ln (y))}{y} = \frac{0}{y}$

Etapa 7.2.1.2.1.2

Divida $9 - x \ln (y)$ por $1$ .

$9 - x \ln (y) = \frac{0}{y}$

Etapa 7.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.3.1

Divida $0$ por $y$ .

$9 - x \ln (y) = 0$

Etapa 7.2.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$- x \ln (y) = - 9$

Etapa 7.2.3

Divida cada termo em $- x \ln (y) = - 9$ por $- \ln (y)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Divida cada termo em $- x \ln (y) = - 9$ por $- \ln (y)$ .

$\frac{- x \ln (y)}{- \ln (y)} = \frac{- 9}{- \ln (y)}$

Etapa 7.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{- 9}{- \ln (y)}$

Etapa 7.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{- 9}{- \ln (y)}$

Etapa 7.2.3.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{- \ln (y)}$

Etapa 7.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{9}{\ln (y)}$

Etapa 8

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Cancele o fator comum de $\ln (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9}{\ln (y)} \ln (y) + y^{6} = 9 \ln (\frac{9}{\ln (y)})$

Etapa 8.1.2

Reescreva a expressão.

$9 + y^{6} = 9 \ln (\frac{9}{\ln (y)})$

Etapa 8.2

Simplifique $9 \ln (\frac{9}{\ln (y)})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique $9 \ln (\frac{9}{\ln (y)})$ movendo $9$ para dentro do logaritmo.

$9 + y^{6} = \ln ({(\frac{9}{\ln (y)})}^{9})$

Etapa 8.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{\ln (y)}$ .

$9 + y^{6} = \ln (\frac{9^{9}}{\ln^{9} (y)})$

Etapa 8.2.3

Eleve $9$ à potência de $9$ .

$9 + y^{6} = \ln (\frac{387420489}{\ln^{9} (y)})$

Etapa 8.3

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$y \approx 1.61046107$

Etapa 9

Remova os parênteses.

$x = \frac{9}{\ln (1.61046107)}$

Etapa 10

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{9}{\ln (1.61046107)}, 1.61046107)$

Etapa 11