Cálculo Exemplos

$y = | x^{2} - 9 |$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - 9 |)$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $| u |$ em relação a $u$ é $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 9$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 3.2.3

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + 0)$

Etapa 3.2.4

Combine frações.

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Etapa 3.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x)$

Etapa 3.2.4.2

Combine $2$ e $\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |} x$

Etapa 3.2.4.3

Combine $\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |}$ e $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Etapa 3.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Etapa 3.3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Etapa 3.3.3.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Etapa 3.3.3.2

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Etapa 6

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 6.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x^{3} - 18 x = 0$

Etapa 6.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.2.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3} - 18 x$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Etapa 6.2.1.1.2

Fatore $2 x$ de $- 18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Etapa 6.2.1.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore.

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Etapa 6.2.1.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 6.2.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 6.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 6.2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.2.4

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.2.4.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 6.2.4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6.2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3, 3$

Etapa 6.3

Exclua as soluções que não tornam $\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |} = 0$ verdadeira.

$x = 0$

Etapa 7

Simplifique $| {(0)}^{2} - 9 |$ .

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Etapa 7.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = | 0 - 9 |$

Etapa 7.2

Subtraia $9$ de $0$ .

$y = | - 9 |$

Etapa 7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 9$ e $0$ é $9$ .

$y = 9$

Etapa 8

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 9)$

Etapa 9