Cálculo Exemplos

$y = 2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 + 48 x^{2} + 32 x^{4})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Etapa 3.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x^{2}$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $48$ .

$0 + 96 x + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32 x^{4}$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 + 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0 + 96 x + 32 (4 x^{3})$

Etapa 3.3.3

Multiplique $4$ por $32$ .

$0 + 96 x + 128 x^{3}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Some $0$ e $96 x$ .

$96 x + 128 x^{3}$

Etapa 3.4.2

Reordene os termos.

$128 x^{3} + 96 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 128 x^{3} + 96 x$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 128 x^{3} + 96 x$

Etapa 6

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 6.1

Fatore $32 x$ de $128 x^{3} + 96 x$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $32 x$ de $128 x^{3}$ .

$32 x (4 x^{2}) + 96 x = 0$

Etapa 6.1.2

Fatore $32 x$ de $96 x$ .

$32 x (4 x^{2}) + 32 x (3) = 0$

Etapa 6.1.3

Fatore $32 x$ de $32 x (4 x^{2}) + 32 x (3)$ .

$32 x (4 x^{2} + 3) = 0$

Etapa 6.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

Etapa 6.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.4

Defina $4 x^{2} + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $4 x^{2} + 3$ como igual a $0$ .

$4 x^{2} + 3 = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $4 x^{2} + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} = - 3$

Etapa 6.4.2.2

Divida cada termo em $4 x^{2} = - 3$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 6.4.2.2.1

Divida cada termo em $4 x^{2} = - 3$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Etapa 6.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Etapa 6.4.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Etapa 6.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

Etapa 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Etapa 6.4.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

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Etapa 6.4.2.4.1

Reescreva $- \frac{3}{4}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 6.4.2.4.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Etapa 6.4.2.4.1.2

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $3$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Etapa 6.4.2.4.1.3

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Etapa 6.4.2.4.1.4

Reorganize a fração $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Etapa 6.4.2.4.1.5

Reescreva $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Etapa 6.4.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Etapa 6.4.2.4.3

Combine $\frac{i}{2}$ e $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.4.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.4.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.4.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.4.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.5

A solução final são todos os valores que tornam $32 x (4 x^{2} + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7

Resolva $y$ .

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Etapa 7.1

Remova os parênteses.

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 {(0)}^{4}$

Etapa 7.2

Remova os parênteses.

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$

Etapa 7.3

Simplifique $2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$ .

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 2 + 48 \cdot 0 + 32 \cdot 0^{4}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $48$ por $0$ .

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0^{4}$

Etapa 7.3.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0$

Etapa 7.3.1.4

Multiplique $32$ por $0$ .

$y = 2 + 0 + 0$

Etapa 7.3.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 7.3.2.1

Some $2$ e $0$ .

$y = 2 + 0$

Etapa 7.3.2.2

Some $2$ e $0$ .

$y = 2$

Etapa 8

Os valores de $x$ calculados não contêm componentes imaginários.

$\frac{i \sqrt{3}}{2}$ não é um valor válido de x

Etapa 9

Os valores de $x$ calculados não contêm componentes imaginários.

$- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ não é um valor válido de x

Etapa 10

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 2)$

Etapa 11