Cálculo Exemplos

$y = 12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8)$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 27 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$36 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $- 27$ .

$36 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.5.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 + 0$

Etapa 3.5.2

Some $36 x^{2} - 54 x - 36$ e $0$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 36 x^{2} - 54 x - 36$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{2} - 54 x - 36$

Etapa 6

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 6.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.1.1

Fatore $18$ de $36 x^{2} - 54 x - 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Fatore $18$ de $36 x^{2}$ .

$18 (2 x^{2}) - 54 x - 36 = 0$

Etapa 6.1.1.2

Fatore $18$ de $- 54 x$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) - 36 = 0$

Etapa 6.1.1.3

Fatore $18$ de $- 36$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) + 18 (- 2) = 0$

Etapa 6.1.1.4

Fatore $18$ de $18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x)$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2) = 0$

Etapa 6.1.1.5

Fatore $18$ de $18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2)$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Etapa 6.1.2

Fatore.

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Etapa 6.1.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e cuja soma é $b = - 3$ .

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Etapa 6.1.2.1.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Etapa 6.1.2.1.1.2

Reescreva $- 3$ como $1$ mais $- 4$

$18 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

Etapa 6.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$18 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

Etapa 6.1.2.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$18 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

Etapa 6.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$18 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

Etapa 6.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$18 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

Etapa 6.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$18 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

Etapa 6.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

Etapa 6.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 6.3

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 6.3.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 6.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6.5

A solução final são todos os valores que tornam $18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Etapa 7

Simplifique $12 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$ .

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 7.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$y = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$y = 12 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$y = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$y = 12 (- \frac{1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{8}$ para o numerador.

$y = 12 (\frac{- 1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.5.2

Fatore $4$ de $12$ .

$y = 4 (3) \frac{- 1}{8} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.5.3

Fatore $4$ de $8$ .

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.5.4

Cancele o fator comum.

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.5.5

Reescreva a expressão.

$y = 3 (\frac{- 1}{2}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.6

Combine $3$ e $\frac{- 1}{2}$ .

$y = \frac{3 \cdot - 1}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 7.1.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.10

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.11

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.12

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.13

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 (\frac{1}{4}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.14

Combine $- 27$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{3}{2} + \frac{- 27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.16

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.16.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (\frac{- 1}{2}) + 8$

Etapa 7.1.16.2

Fatore $2$ de $- 36$ .

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 (- 18) \frac{- 1}{2} + 8$

Etapa 7.1.16.3

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 18 \frac{- 1}{2} + 8$

Etapa 7.1.16.4

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 18 \cdot - 1 + 8$

Etapa 7.1.17

Multiplique $- 18$ por $- 1$ .

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Etapa 7.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = - (\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Etapa 7.2.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Etapa 7.2.3

Escreva $18$ como uma fração com denominador $1$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} + 8$

Etapa 7.2.4

Multiplique $\frac{18}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + 8$

Etapa 7.2.5

Multiplique $\frac{18}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + 8$

Etapa 7.2.6

Escreva $8$ como uma fração com denominador $1$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1}$

Etapa 7.2.7

Multiplique $\frac{8}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.2.8

Multiplique $\frac{8}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.2.9

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 3 \cdot 2 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $18$ por $4$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 8 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.4.3

Multiplique $8$ por $4$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 32}{4}$

Etapa 7.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Subtraia $27$ de $- 6$ .

$y = \frac{- 33 + 72 + 32}{4}$

Etapa 7.5.2

Some $- 33$ e $72$ .

$y = \frac{39 + 32}{4}$

Etapa 7.5.3

Some $39$ e $32$ .

$y = \frac{71}{4}$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Remova os parênteses.

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Etapa 8.2

Remova os parênteses.

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 \cdot 2^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Etapa 8.3

Remova os parênteses.

$y = 12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Etapa 8.4

Simplifique $12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$y = 12 \cdot 8 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Etapa 8.4.1.2

Multiplique $12$ por $8$ .

$y = 96 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Etapa 8.4.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = 96 - 27 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 8$

Etapa 8.4.1.4

Multiplique $- 27$ por $4$ .

$y = 96 - 108 - 36 \cdot 2 + 8$

Etapa 8.4.1.5

Multiplique $- 36$ por $2$ .

$y = 96 - 108 - 72 + 8$

Etapa 8.4.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Subtraia $108$ de $96$ .

$y = - 12 - 72 + 8$

Etapa 8.4.2.2

Subtraia $72$ de $- 12$ .

$y = - 84 + 8$

Etapa 8.4.2.3

Some $- 84$ e $8$ .

$y = - 76$

Etapa 9

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{71}{4})$

$(2, - 76)$

Etapa 10