Cálculo Exemplos

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x - 4 \cos (3 x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 4 \cos (3 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \cos (3 x)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 3.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Etapa 3.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

Etapa 3.3.7

Multiplique $- 3$ por $- 4$ .

$6 + 12 \sin (3 x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 6 + 12 \sin (3 x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 + 12 \sin (3 x)$

Etapa 6

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 6.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$12 \sin (3 x) = - 6$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $12 \sin (3 x) = - 6$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $12 \sin (3 x) = - 6$ por $12$ .

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $\sin (3 x)$ por $1$ .

$\sin (3 x) = \frac{- 6}{12}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $12$ .

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Etapa 6.2.3.1.1

Fatore $6$ de $- 6$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

Etapa 6.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.3.1.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Etapa 6.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin (3 x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (3 x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$3 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$3 x = - \frac{π}{6}$

Etapa 6.5

Divida cada termo em $3 x = - \frac{π}{6}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.5.1

Divida cada termo em $3 x = - \frac{π}{6}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Etapa 6.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Etapa 6.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Etapa 6.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 6.5.3.2

Multiplique $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 6.5.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

Etapa 6.5.3.2.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$x = - \frac{π}{18}$

Etapa 6.6

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 6.7

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.7.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 6.7.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 6.7.3

Divida cada termo em $3 x = \frac{7 π}{6}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.7.3.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{7 π}{6}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Etapa 6.7.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.7.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.7.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Etapa 6.7.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Etapa 6.7.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.7.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 6.7.3.3.2

Multiplique $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 6.7.3.3.2.1

Multiplique $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

Etapa 6.7.3.3.2.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

Etapa 6.8

Encontre o período de $\sin (3 x)$ .

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Etapa 6.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.8.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Etapa 6.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 6.9

Some $\frac{2 π}{3}$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 6.9.1

Some $\frac{2 π}{3}$ com $- \frac{π}{18}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.9.2

Para escrever $\frac{2 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

Etapa 6.9.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $18$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.9.3.1

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

Etapa 6.9.3.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

Etapa 6.9.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18}$

Etapa 6.9.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.9.5.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{18}$

Etapa 6.9.5.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{18}$

Etapa 6.9.6

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{18}$

Etapa 6.10

O período da função $\sin (3 x)$ é $\frac{2 π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{2 π}{3}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Simplifique $6 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 6 \frac{7 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $6$ de $18$ .

$y = 6 \frac{7 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 7.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = 6 \frac{7 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 7.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{7 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 7.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.1.3.1

Fatore $3$ de $6$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 7.1.3.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{7 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 7.1.3.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{7 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 7.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 7.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Etapa 7.1.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.1.6.1

Fatore $3$ de $18$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Etapa 7.1.6.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Etapa 7.1.6.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Etapa 7.1.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.1.7.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Etapa 7.1.7.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Etapa 7.2

Simplifique com comutação.

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Etapa 7.2.1

Reordene $\frac{7 π}{6}$ e $2 π n$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Etapa 7.2.2

Reordene $\frac{7 π}{3}$ e $4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Etapa 8

Simplifique $6 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 6 \frac{11 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 8.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 8.1.2.1

Fatore $6$ de $18$ .

$y = 6 \frac{11 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 8.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = 6 \frac{11 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 8.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{11 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 8.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.1.3.1

Fatore $3$ de $6$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 8.1.3.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{11 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 8.1.3.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{11 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 8.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Etapa 8.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Etapa 8.1.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.1.6.1

Fatore $3$ de $18$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Etapa 8.1.6.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Etapa 8.1.6.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Etapa 8.1.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.1.7.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Etapa 8.1.7.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

Etapa 8.2

Simplifique com comutação.

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Etapa 8.2.1

Reordene $\frac{11 π}{6}$ e $2 π n$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Etapa 8.2.2

Reordene $\frac{11 π}{3}$ e $4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Etapa 9

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6}))$ , para qualquer número inteiro $n$

$(\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6}))$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10