Cálculo Exemplos

$f (x) = 12 x^{2} + 8 x$ , $x = 9$

Etapa 1

Considere a função usada para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Etapa 2

Substitua o valor de $a = 9$ na função de linearização.

$L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9)$

Etapa 3

Avalie $f (9)$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$f (9) = 12 {(9)}^{2} + 8 (9)$

Etapa 3.2

Simplifique $12 {(9)}^{2} + 8 (9)$ .

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Etapa 3.2.1

Remova os parênteses.

$12 {(9)}^{2} + 8 (9)$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 81 + 8 (9)$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $12$ por $81$ .

$972 + 8 (9)$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $8$ por $9$ .

$972 + 72$

Etapa 3.2.3

Some $972$ e $72$ .

$1044$

Etapa 4

Encontre a derivada e a avalie em $9$ .

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Etapa 4.1

Encontre a derivada de $f (x) = 12 x^{2} + 8 x$ .

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} + 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x + 8 \cdot 1$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$24 x + 8$

Etapa 4.2

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$24 (9) + 8$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $24$ por $9$ .

$216 + 8$

Etapa 4.3.2

Some $216$ e $8$ .

$224$

Etapa 5

Substitua os componentes na função de linearização para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = 1044 + 224 (x - 9)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$L (x) = 1044 + 224 x + 224 \cdot - 9$

Etapa 6.1.2

Multiplique $224$ por $- 9$ .

$L (x) = 1044 + 224 x - 2016$

Etapa 6.2

Subtraia $2016$ de $1044$ .

$L (x) = 224 x - 972$

Etapa 7