Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ , $a = 2$

Etapa 1

Considere a função usada para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Etapa 2

Substitua o valor de $a = 2$ na função de linearização.

$L (x) = f (2) + f' (2) (x - 2)$

Etapa 3

Avalie $f (2)$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Etapa 3.2

Simplifique $\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$ .

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Etapa 3.2.1

Remova os parênteses.

$\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Etapa 3.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + 21}$

Etapa 3.2.3

Some $4$ e $21$ .

$\sqrt{25}$

Etapa 3.2.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Etapa 3.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$5$

Etapa 4

Encontre a derivada e a avalie em $2$ .

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Etapa 4.1

Encontre a derivada de $f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ .

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Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 21}$ como ${(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 21$ .

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Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 21$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 21$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Etapa 4.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Etapa 4.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Etapa 4.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Etapa 4.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Etapa 4.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Etapa 4.1.7

Combine frações.

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Etapa 4.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Etapa 4.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Etapa 4.1.7.3

Mova ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Etapa 4.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 21$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21])$

Etapa 4.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [21])$

Etapa 4.1.10

Como $21$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $21$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Etapa 4.1.11

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Etapa 4.1.11.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 4.1.11.3

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.11.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.11.5

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$\frac{2}{{({(2)}^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2}{{(4 + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3.2

Some $4$ e $21$ .

$\frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{5^{1}}$

Etapa 4.3.6

Avalie o expoente.

$\frac{2}{5}$

Etapa 5

Substitua os componentes na função de linearização para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} (x - 2)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Etapa 6.1.2

Combine $\frac{2}{5}$ e $x$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Etapa 6.1.3

Multiplique $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

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Etapa 6.1.3.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

Etapa 6.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

Etapa 6.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

Etapa 6.2

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Etapa 6.3

Combine $5$ e $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Etapa 6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5 - 4}{5}$

Etapa 6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{25 - 4}{5}$

Etapa 6.5.2

Subtraia $4$ de $25$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{21}{5}$

Etapa 7