Cálculo Exemplos

$f (x) = 1 - x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 1.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 1.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.2.9

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.3

Subtraia $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Etapa 4.2

Defina o denominador em $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Etapa 4.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Divida cada termo em $27 x^{2} = 0$ por $27$ e simplifique.

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Etapa 4.3.3.1.1

Divida cada termo em $27 x^{2} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 4.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

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Etapa 4.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 4.3.3.1.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Etapa 4.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $27$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.3.3.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 4.3.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.3.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 4.3.3.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 1 - x^{\frac{1}{3}}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 6.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 6.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 \cdot 1}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- \frac{1}{3}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - \frac{1}{3 {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - \frac{1}{3 \cdot 1}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{3}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- \frac{1}{3}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \infty)$ .

Decréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Etapa 9