Cálculo Exemplos

$\sin (2 x)$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 \cos (2 x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $2 \cos (2 x) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.1.1

Divida cada termo em $2 \cos (2 x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.1.2.1.2

Divida $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Etapa 2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Etapa 2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (0)$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.4

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.4.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 2.6.1

Simplifique.

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Etapa 2.6.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.6.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.6.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.6.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 2.6.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.6.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.6.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.6.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.6.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.6.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.7

Encontre o período de $\cos (2 x)$ .

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Etapa 2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.7.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.7.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.8

O período da função $\cos (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = \sin (2 x)$ em $x = \frac{π}{4}$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 3.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = \sin (2 x)$ em $x = \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}))$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Etapa 4.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

Etapa 4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π + π \cdot 2}{4}))$

Etapa 4.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π + 2 \cdot π}{4}))$

Etapa 4.2.4.2

Some $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Etapa 4.2.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Etapa 4.2.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 4.2.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 4.2.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - 1$

Etapa 4.2.9

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 5

A reta tangente horizontal na função $f (x) = \sin (2 x)$ é $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Etapa 6