Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x + 7$

Etapa 1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

Etapa 2

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} - 2 + 0$

Etapa 3.4.2

Some $x^{2} - 2$ e $0$ .

$x^{2} - 2$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} - 2 = 0$ .

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Etapa 4.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 4.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 4.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 4.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ em $x = \sqrt{2}$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{2}$ na expressão.

$f (\sqrt{2}) = \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{8}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Etapa 5.2.1.3

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 5.2.1.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{4 (2)}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Etapa 5.2.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Etapa 5.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Etapa 5.2.2

Para escrever $- 2 \sqrt{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

Etapa 5.2.3

Combine frações.

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Etapa 5.2.3.1

Combine $- 2 \sqrt{2}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Etapa 5.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Etapa 5.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.4.1.1

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

Etapa 5.2.4.1.2

Subtraia $6 \sqrt{2}$ de $2 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{- 4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Etapa 5.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\sqrt{2}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Etapa 5.2.5

A resposta final é $- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Etapa 6

Resolva a função original $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ em $x = - \sqrt{2}$ .

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{2}$ na expressão.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Etapa 6.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Etapa 6.2.1.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Etapa 6.2.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{8}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Etapa 6.2.1.1.5

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 6.2.1.1.5.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{4 (2)}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Etapa 6.2.1.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Etapa 6.2.1.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Etapa 6.2.1.1.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Etapa 6.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} + 7$

Etapa 6.2.2

Para escrever $2 \sqrt{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

Etapa 6.2.3

Combine frações.

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Etapa 6.2.3.1

Combine $2 \sqrt{2}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Etapa 6.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Etapa 6.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

Etapa 6.2.4.2

Some $- 2 \sqrt{2}$ e $6 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Etapa 7

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ são $y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Etapa 8