Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Etapa 2

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $3 x^{2} - 10 x + 3$ e $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ .

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Etapa 3.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ e cuja soma é $b = - 10$ .

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Etapa 3.1.1.1

Fatore $- 10$ de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva $- 10$ como $- 1$ mais $- 9$

$3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3 = 0$

Etapa 3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3 = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3 = 0$

Etapa 3.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1) = 0$

Etapa 3.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 3) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 3.3

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 3.3.2

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 3.3.2.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.3.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 3.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 3.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 3.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 1) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{3}, 3$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ em $x = \frac{1}{3}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{3}$ na expressão.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.2.1.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 (\frac{1}{9}) + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.2.1.7

Combine $- 5$ e $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.2.1.9

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.1.9.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.2.1.9.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 1 + 1$

Etapa 4.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{5}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 1$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $\frac{5}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 1 + 1$

Etapa 4.2.2.3

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 1$

Etapa 4.2.2.4

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Etapa 4.2.2.5

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + 1$

Etapa 4.2.2.6

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1}$

Etapa 4.2.2.7

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 4.2.2.8

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Etapa 4.2.2.9

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Etapa 4.2.2.10

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Etapa 4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 5 \cdot 3 + 27 + 27}{27}$

Etapa 4.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.4.1

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 15 + 27 + 27}{27}$

Etapa 4.2.4.2

Subtraia $15$ de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 14 + 27 + 27}{27}$

Etapa 4.2.4.3

Some $- 14$ e $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13 + 27}{27}$

Etapa 4.2.4.4

Some $13$ e $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

Etapa 4.2.5

A resposta final é $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ em $x = 3$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = {(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = 27 - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = 27 - 5 \cdot 9 + 3 (3) + 1$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 5$ por $9$ .

$f (3) = 27 - 45 + 3 (3) + 1$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (3) = 27 - 45 + 9 + 1$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $45$ de $27$ .

$f (3) = - 18 + 9 + 1$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 18$ e $9$ .

$f (3) = - 9 + 1$

Etapa 5.2.2.3

Some $- 9$ e $1$ .

$f (3) = - 8$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 8$ .

$- 8$

Etapa 6

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ são $y = \frac{40}{27}, y = - 8$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 8$

Etapa 7