Cálculo Exemplos

$f (x) = x \ln (x^{2})$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.3.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.2.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.4.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4.2

Combine $\frac{2}{x}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4.3.2

Divida $2$ por $1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \cdot 1$

Etapa 1.3.6

Multiplique $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$2 + \ln (x^{2})$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 + \ln (x^{2}) = 0$ .

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Etapa 2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\ln (x^{2}) = - 2$

Etapa 2.2

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 2}$

Etapa 2.3

Reescreva $\ln (x^{2}) = - 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x^{2}$

Etapa 2.4

Resolva $x$ .

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Etapa 2.4.1

Reescreva a equação como $x^{2} = e^{- 2}$ .

$x^{2} = e^{- 2}$

Etapa 2.4.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{e^{- 2}}$

Etapa 2.4.3

Simplifique $\pm \sqrt{e^{- 2}}$ .

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Etapa 2.4.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$

Etapa 2.4.3.2

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$

Etapa 2.4.3.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e^{2}}}$

Etapa 2.4.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{1}{e}$

Etapa 2.4.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.4.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{1}{e}$

Etapa 2.4.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{1}{e}$

Etapa 2.4.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = x \ln (x^{2})$ em $x = \frac{1}{e}$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{e}$ na expressão.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln ({(\frac{1}{e})}^{2})$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

Etapa 3.2.2

Mova $e^{2}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\ln (1^{2} e^{- 2})$ como $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

Etapa 3.2.4

Use as regras logarítmicas para mover $- 2$ para fora do expoente.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

Etapa 3.2.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

Etapa 3.2.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

Etapa 3.2.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.7.1

Expanda $\ln (1^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

Etapa 3.2.7.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

Etapa 3.2.7.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

Etapa 3.2.8

Combine frações.

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Etapa 3.2.8.1

Subtraia $2$ de $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 2$

Etapa 3.2.8.2

Combine $\frac{1}{e}$ e $- 2$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 2}{e}$

Etapa 3.2.8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{2}{e}$

Etapa 3.2.9

A resposta final é $- \frac{2}{e}$ .

$- \frac{2}{e}$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x \ln (x^{2})$ em $x = - \frac{1}{e}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{e}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{e}) = (- \frac{1}{e}) \ln ({(- \frac{1}{e})}^{2})$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{e})}^{2})$

Etapa 4.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

Etapa 4.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1 (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

Etapa 4.2.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{e^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

Etapa 4.2.4

Mova $e^{2}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

Etapa 4.2.5

Reescreva $\ln (1^{2} e^{- 2})$ como $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

Etapa 4.2.6

Use as regras logarítmicas para mover $- 2$ para fora do expoente.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

Etapa 4.2.7

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

Etapa 4.2.8

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

Etapa 4.2.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.9.1

Expanda $\ln (1^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

Etapa 4.2.9.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

Etapa 4.2.9.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

Etapa 4.2.10

Subtraia $2$ de $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot - 2$

Etapa 4.2.11

Multiplique $- \frac{1}{e} \cdot - 2$ .

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Etapa 4.2.11.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 2 (\frac{1}{e})$

Etapa 4.2.11.2

Combine $2$ e $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{2}{e}$

Etapa 4.2.12

A resposta final é $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Etapa 5

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = x \ln (x^{2})$ são $y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$ .

$y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$

Etapa 6