Cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 4 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 8 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $4 x^{3} - 8 x$ e $0$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Etapa 3.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 8 x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore $4 x$ de $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Etapa 3.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 3.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.4

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $x^{2} - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 3.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 3.4.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 3.4.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 3.4.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x^{2} - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ em $x = 0$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 4.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ em $x = \sqrt{2}$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{2}$ na expressão.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Etapa 5.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Etapa 5.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 5.2.1.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Etapa 5.2.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.1.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Etapa 5.2.1.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Etapa 5.2.1.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Etapa 5.2.1.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Etapa 5.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 5.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Etapa 5.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Etapa 5.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Etapa 5.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Etapa 5.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Etapa 5.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8 + 1$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.2.1

Subtraia $8$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 1$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 4$ e $1$ .

$f (\sqrt{2}) = - 3$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 6

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ são $y = 1, y = - 3, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3, y = - 3$

Etapa 7