Cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 2 x + 1$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = x^{4} - 2 x + 1$

Etapa 2

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$4 x^{3} - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 2 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $4 x^{3} - 2$ e $0$ .

$4 x^{3} - 2$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 2 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$4 x^{3} = 2$

Etapa 3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$4 x^{3} - 2 = 0$

Etapa 3.3

Fatore $2$ de $4 x^{3} - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) - 2 = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

Etapa 3.3.3

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$

Etapa 3.4

Divida cada termo em $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Divida cada termo em $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Divida $2 x^{3} - 1$ por $1$ .

$2 x^{3} - 1 = \frac{0}{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$2 x^{3} - 1 = 0$

Etapa 3.5

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x^{3} = 1$

Etapa 3.6

Divida cada termo em $2 x^{3} = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Divida cada termo em $2 x^{3} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.6.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.8

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$

Etapa 3.8.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Etapa 3.8.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 3.8.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 3.8.4.2

Eleve $\sqrt[3]{2}$ à potência de $1$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 3.8.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.8.4.4

Some $1$ e $2$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Etapa 3.8.4.5

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.8.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.8.4.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.8.4.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.8.4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.8.4.5.5

Avalie o expoente.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Etapa 3.8.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.5.1

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Etapa 3.8.5.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ em $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{4}}^{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{4}$ como $\sqrt[3]{4^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{4}}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Etapa 4.2.1.2.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{256}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Etapa 4.2.1.2.3

Reescreva $256$ como $4^{3} \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.3.1

Fatore $64$ de $256$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{64 (4)}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Etapa 4.2.1.2.3.2

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Etapa 4.2.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Etapa 4.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.4.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 (\sqrt[3]{4})}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Etapa 4.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.4.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Etapa 4.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Etapa 4.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Etapa 4.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.5.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

Etapa 4.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

Etapa 4.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 1 \sqrt[3]{4} + 1$

Etapa 4.2.1.6

Reescreva $- 1 \sqrt[3]{4}$ como $- \sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} + 1$

Etapa 4.2.2

Para escrever $- \sqrt[3]{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Etapa 4.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Combine $- \sqrt[3]{4}$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + \frac{- \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

Etapa 4.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

Etapa 4.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Etapa 4.2.4.1.2

Subtraia $4 \sqrt[3]{4}$ de $\sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Etapa 4.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Etapa 4.2.5

A resposta final é $- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Etapa 5

A reta tangente horizontal na função $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ é $y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Forma decimal:

$y = - 0.19055078 \dots$

Etapa 7