Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{2} + 7 x - 5$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = 2 x^{2} + 7 x - 5$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 7 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$4 x + 7 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x + 7 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $4 x + 7$ e $0$ .

$4 x + 7$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x + 7 = 0$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 7$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $4 x = - 7$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 7$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{4}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{7}{4}$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = 2 x^{2} + 7 x - 5$ em $x = - \frac{7}{4}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{7}{4}$ na expressão.

$f (- \frac{7}{4}) = 2 {(- \frac{7}{4})}^{2} + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{7}{4}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{4})}^{2}) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Etapa 4.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{4}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{4^{2}})) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 (1 (\frac{7^{2}}{4^{2}})) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $\frac{7^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 (\frac{7^{2}}{4^{2}}) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Etapa 4.2.1.4

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{4^{2}}) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Etapa 4.2.1.5

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{16}) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Etapa 4.2.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.6.1

Fatore $2$ de $16$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{2 (8)}) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Etapa 4.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{2 \cdot 8}) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Etapa 4.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Etapa 4.2.1.7

Multiplique $7 (- \frac{7}{4})$ .

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Etapa 4.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - 7 (\frac{7}{4}) - 5$

Etapa 4.2.1.7.2

Combine $- 7$ e $\frac{7}{4}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} + \frac{- 7 \cdot 7}{4} - 5$

Etapa 4.2.1.7.3

Multiplique $- 7$ por $7$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} + \frac{- 49}{4} - 5$

Etapa 4.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49}{4} - 5$

Etapa 4.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{49}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - (\frac{49}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 5$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $\frac{49}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 5$

Etapa 4.2.2.3

Escreva $- 5$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 5}{1}$

Etapa 4.2.2.4

Multiplique $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 4.2.2.5

Multiplique $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 5 \cdot 8}{8}$

Etapa 4.2.2.6

Reordene os fatores de $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 5 \cdot 8}{8}$

Etapa 4.2.2.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{8} + \frac{- 5 \cdot 8}{8}$

Etapa 4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49 - 49 \cdot 2 - 5 \cdot 8}{8}$

Etapa 4.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.4.1

Multiplique $- 49$ por $2$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49 - 98 - 5 \cdot 8}{8}$

Etapa 4.2.4.2

Multiplique $- 5$ por $8$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49 - 98 - 40}{8}$

Etapa 4.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.5.1

Subtraia $98$ de $49$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{- 49 - 40}{8}$

Etapa 4.2.5.2

Subtraia $40$ de $- 49$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{- 89}{8}$

Etapa 4.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{7}{4}) = - \frac{89}{8}$

Etapa 4.2.6

A resposta final é $- \frac{89}{8}$ .

$- \frac{89}{8}$

Etapa 5

A reta tangente horizontal na função $f (x) = 2 x^{2} + 7 x - 5$ é $y = - \frac{89}{8}$ .

$y = - \frac{89}{8}$

Etapa 6