Cálculo Exemplos

$y = 1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$

Etapa 1

Simplifique $1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova $1$ .

$y = 40 x^{3} - 3 x^{5} + 1$

Etapa 1.2

Reordene $40 x^{3}$ e $- 3 x^{5}$ .

$y = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

Etapa 2

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

Etapa 3

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $40$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $40 x^{3}$ em relação a $x$ é $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $3$ por $40$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 0$

Etapa 3.4.2

Some $- 15 x^{4} + 120 x^{2}$ e $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 15 x^{4} + 120 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 120 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 15 u^{2} + 120 u = 0$

Etapa 4.1.3

Fatore $15 u$ de $- 15 u^{2} + 120 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Fatore $15 u$ de $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 120 u = 0$

Etapa 4.1.3.2

Fatore $15 u$ de $120 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (8) = 0$

Etapa 4.1.3.3

Fatore $15 u$ de $15 u (- u) + 15 u (8)$ .

$15 u (- u + 8) = 0$

Etapa 4.1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$

Etapa 4.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 8 = 0$

Etapa 4.3

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 4.3.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 4.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.4

Defina $- x^{2} + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Defina $- x^{2} + 8$ como igual a $0$ .

$- x^{2} + 8 = 0$

Etapa 4.4.2

Resolva $- x^{2} + 8 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 8$

Etapa 4.4.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 8$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 4.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 4.4.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 4.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.3.1

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Etapa 4.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Etapa 4.4.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.4.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.4.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Etapa 4.4.2.4.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.4.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.4.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.4.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.5

A solução final são todos os valores que tornam $15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - 3 {(0)}^{5} + 40 {(0)}^{3} + 1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

Etapa 5.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 40 \cdot 0 + 1$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $40$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Etapa 5.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 6

Resolva a função original $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ em $x = 2 \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2 \sqrt{2}$ na expressão.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 {(2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (2^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 6.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{5}$ como $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 6.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{32}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 6.2.1.5

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.5.1

Fatore $16$ de $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 6.2.1.5.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 6.2.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 6.2.1.7

Multiplique $4$ por $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (128 \sqrt{2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 6.2.1.8

Multiplique $128$ por $- 3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 6.2.1.9

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (2^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Etapa 6.2.1.10

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Etapa 6.2.1.11

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

Etapa 6.2.1.12

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{8}) + 1$

Etapa 6.2.1.13

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.13.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

Etapa 6.2.1.13.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

Etapa 6.2.1.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 (2 \sqrt{2})) + 1$

Etapa 6.2.1.15

Multiplique $2$ por $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (16 \sqrt{2}) + 1$

Etapa 6.2.1.16

Multiplique $16$ por $40$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 640 \sqrt{2} + 1$

Etapa 6.2.2

Some $- 384 \sqrt{2}$ e $640 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 256 \sqrt{2} + 1$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $256 \sqrt{2} + 1$ .

$256 \sqrt{2} + 1$

Etapa 7

Resolva a função original $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ em $x = - 2 \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 2 \sqrt{2}$ na expressão.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 ({(- 2)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 7.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{5}$ como $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 7.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{32}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 7.2.1.5

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.5.1

Fatore $16$ de $32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 7.2.1.5.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 7.2.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 7.2.1.7

Multiplique $4$ por $- 32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 128 \sqrt{2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 7.2.1.8

Multiplique $- 128$ por $- 3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Etapa 7.2.1.9

Aplique a regra do produto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 ({(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Etapa 7.2.1.10

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Etapa 7.2.1.11

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

Etapa 7.2.1.12

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{8}) + 1$

Etapa 7.2.1.13

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.13.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

Etapa 7.2.1.13.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

Etapa 7.2.1.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 (2 \sqrt{2})) + 1$

Etapa 7.2.1.15

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 16 \sqrt{2}) + 1$

Etapa 7.2.1.16

Multiplique $- 16$ por $40$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} - 640 \sqrt{2} + 1$

Etapa 7.2.2

Subtraia $640 \sqrt{2}$ de $384 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 256 \sqrt{2} + 1$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 256 \sqrt{2} + 1$ .

$- 256 \sqrt{2} + 1$

Etapa 8

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ são $y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$ .

$y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$

Etapa 9