Cálculo Exemplos

$y = - 5 x^{2} - 2 x$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = - 5 x^{2} - 2 x$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 10 x - 2 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 10 x - 2$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 10 x - 2 = 0$ .

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Etapa 3.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$- 10 x = 2$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $- 10 x = 2$ por $- 10$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $- 10 x = 2$ por $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{2}{- 10}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 10$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{2}{- 10}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{- 10}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ e $- 10$ .

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Etapa 3.2.3.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x = \frac{2 (1)}{- 10}$

Etapa 3.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 5}$

Etapa 3.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 5}$

Etapa 3.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{- 5}$

Etapa 3.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{5}$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = - 5 x^{2} - 2 x$ em $x = - \frac{1}{5}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{5}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 {(- \frac{1}{5})}^{2} - 2 (- \frac{1}{5})$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Etapa 4.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{5^{2}})) - 2 (- \frac{1}{5})$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 (1 (\frac{1^{2}}{5^{2}})) - 2 (- \frac{1}{5})$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 \frac{1^{2}}{5^{2}} - 2 (- \frac{1}{5})$

Etapa 4.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 \frac{1}{5^{2}} - 2 (- \frac{1}{5})$

Etapa 4.2.1.5

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 (\frac{1}{25}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Etapa 4.2.1.6

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.2.1.6.1

Fatore $5$ de $- 5$ .

$f (- \frac{1}{5}) = 5 (- 1) (\frac{1}{25}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Etapa 4.2.1.6.2

Fatore $5$ de $25$ .

$f (- \frac{1}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{1}{5 \cdot 5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Etapa 4.2.1.6.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{1}{5 \cdot 5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Etapa 4.2.1.6.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{5}) = - 1 (\frac{1}{5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Etapa 4.2.1.7

Reescreva $- 1 (\frac{1}{5})$ como $- (\frac{1}{5})$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - (\frac{1}{5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Etapa 4.2.1.8

Multiplique $- 2 (- \frac{1}{5})$ .

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Etapa 4.2.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - \frac{1}{5} + 2 (\frac{1}{5})$

Etapa 4.2.1.8.2

Combine $2$ e $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - \frac{1}{5} + \frac{2}{5}$

Etapa 4.2.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{- 1 + 2}{5}$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 1$ e $2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5}$

Etapa 5

A reta tangente horizontal na função $f (x) = - 5 x^{2} - 2 x$ é $y = \frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1}{5}$

Etapa 6